電通大 情報理工学研究科 専門科目（機械知能システム学） 2020年度 院試 解答例・解説

弦の張力はほぼ一定で、横方向成分だけが復元力を与える。傾きを角度と同一視してよい微小振動では、各弦区間の横方向成分は $T\Delta y/l$ と書ける。

採点上は、左右の弦から来る復元力の符号をそろえることが重要である。等質・等長化した後は対称行列の固有値問題になり、同相モードでは中央の弦がほとんど伸びず低い振動数、逆相モードでは中央の弦も強く効くため高い振動数になる。

等温過程では理想気体の内部エネルギー変化がないため、熱量はそのまま仕事 $$Q=\int_{V_a}^{V_b}\frac{mRT}{V}\,dV=mRT\ln\frac{V_b}{V_a}$$ になる。断熱過程では温度が変わる分だけ体積が $(T_H/T_C)^{1/(\kappa-1)}$ 倍に伸びるため、低温側の体積を高温側の体積と同じまま扱うと誤答になる。

逆運転では、成績係数を直接使ってもよいが、エネルギー収支 $$Q_0=Q_{\mathrm{in}}+W$$ とカルノー効率の関係 $W/Q_0=\eta$ を使うと符号の取り違えを避けやすい。

このサイクルでは、熱の出入りは等圧過程だけで起こる。そのため $c_p\Delta T$ の比に直せば効率がすぐに出る。断熱過程の指数は $(\kappa-1)/\kappa$ であり、体積比の指数と取り違えないことが重要である。

この設定では全分子が同じ向きの一次元運動をしているため、通常の三次元気体の関係 $p=(2/3)\varepsilon$ にはならない。係数の違いは、運動エネルギーが一方向だけに集中していることから生じる。

力の導出では、壁1回あたりの運動量変化 $2mu$ と、同じ壁に戻る周期 $2L/u$ を分けて考えると計算が安定する。

圧力勾配で作られる放物線分布は、壁が動いても同じ圧力勾配ならそのまま残る。そこへ、両壁の速度差だけで生じる直線分布を足せばよい。

せん断応力をゼロにする条件は速度そのものではなく速度勾配である。上側壁では放物線成分が負の勾配を持つので、正方向に動かす平板速度 $V$ がそれを打ち消す。

非圧縮条件は、流体密度一定の仮定では速度場の発散がゼロであることを意味する。多項式で与えられているため、すべての $x,y$ で成り立つように各単項式の係数を一致させればよい。

渦度では $\partial v/\partial x$ と $\partial u/\partial y$ の順番を逆にしないことが採点上の要点である。

レイノルズ数をそろえると抗力係数も同じ値として扱える。抗力の式では代表面積に球の投影面積 $\pi d^2/4$ を使う点に注意する。

速度の単位換算を先に行うこと、また水中では速度が小さくても密度が大きいため抗力が増えることを確認しておくと、数値の桁を検算できる。

ブロック線図の内側に積分器があるため、代数式を一度 $sY=U$ の形にしてから整理すると、分母が二次式として自然に出る。

ランプ偏差は位置入力の偏差と同じ式で扱うとゼロにしてしまいやすい。最終値定理では $R(s)=1/s^2$ を最後まで残し、$sE(s)$ の極限を取る。

出力 $y=x_1$ なので、状態方程式はそのまま二階微分方程式 $$\ddot y+b\dot y+ay=u$$ に対応する。ここから伝達関数と安定条件を読むこともできる。

重根条件では、単に判別式をゼロにするだけでなく、得られる根が左半平面にあることを確認する。今回 $k=1$ では特性方程式が $(s+2)^2=0$ となり安定である。

RC回路では、初期値と最終値を先に決めて $$v_C(t)=v_{\infty}+(v_0-v_{\infty})e^{-t/(RC)}$$ と書くと符号の誤りが少ない。

電源が供給したエネルギーとコンデンサに残るエネルギーは一致しない。残りは抵抗で熱になる。切替後は、電圧差 $E_0-E_1$ を持つコンデンサが新しい平衡値へ緩和する過程として扱えば、損失が $\frac12C(E_0-E_1)^2$ とすぐに分かる。

この系は入力が1サンプル遅れて出力へ現れるので、インパルス応答の初項が $0$ になる。伝達関数を $1/(z-2/3)$ のままにすると、この遅れを見落としにくい。

有限長系 $H_0(z)$ は一意ではなく、問われている初めの3点だけを一致させればよい。全応答を一致させるには無限長のインパルス応答が必要である。

移動平均は低域通過型の有限インパルス応答フィルタである。4項の等比級数をまとめると、中心遅れ $3/2$ サンプルに対応する位相因子 $e^{-j3\omega/2}$ が現れる。

標本化周波数 $6\,\mathrm{Hz}$ に対して $1\,\mathrm{Hz}$ の正弦波は、1周期あたり6サンプルで表される。そのため離散角周波数は $\pi/3$ である。

複素指数関数では、絶対値に効くのは指数の実部である。$iz=ir\cos\theta-r\sin\theta$ なので、実部は $-r\sin\theta$ である。

$\cos i$ は実数で、通常の $\cos 1$ ではなく双曲線関数 $\cosh1$ に一致する。

一次分数変換は円または直線を円または直線に写す。境界 $|z|=1$ では $\Re w=0$ となるので、単位円周は虚軸へ写る。内部の点、たとえば $z=0$ は $w=-1$ に写るため、内部全体は左半平面である。

この恒等式は、複素微分可能性が「$x$ 方向微分」と「$y$ 方向微分」を独立でなくしていることを表す。符号は $u_y=-v_x$ から決まるので、ここを $u_y=v_x$ と誤ると結論の符号も逆になる。

この問題では、極が両方とも積分路の内側にあるかを最初に判定することが重要である。片方だけを数えると $2\pi i$ になってしまう。

部分分数分解を使えば $$\frac{2z-3}{z(z-3)}=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-3}$$ とも書けるので、各極の留数がともに $1$ であることをすぐに検算できる。