東大 情報理工学系研究科 知能機械情報学専攻 知能機械情報学 2016年度 院試 解答例・解説

棒の質量を $m$、長さを $l$、床との角を $\theta=\pi/3$ とする。 衝突直前、重心速度は鉛直下向きに $v_0$、角速度は0である。 床は摩擦なしなので、衝撃は鉛直方向にだけ働く。棒の下端が跳ね返らないため、 衝突直後の下端の鉛直速度は0である。

重心まわりの慣性モーメントは $$I_G=\frac{1}{12}ml^2.$$ 床から受ける鉛直衝撃を $J$ とすると、重心の鉛直速度は $$V_y^+=-v_0+\frac{J}{m}.$$ 下端は重心から $$r_x=-\frac{l}{2}\cos\theta$$ だけ水平方向に離れている。角速度を反時計回り正で $\omega^+$ とすると、 重心まわりの角運動量変化より $$I_G\omega^+=-\frac{l}{2}\cos\theta\,J.$$ また下端の鉛直速度条件は $$V_y^+ + \omega^+ r_x=0.$$ これらを解くと $$J=\frac{mv_0}{1+3\cos^2\theta},$$ $$\omega^+ = -\frac{6v_0\cos\theta}{l(1+3\cos^2\theta)}.$$ $\theta=\pi/3$ では $\cos\theta=1/2$ だから $$\omega^+=-\frac{12}{7}\frac{v_0}{l}.$$ 負号は時計回りを表す。角速度の大きさは $$\frac{12v_0}{7l}$$ である。

観測数は24個である。情報源Aでは1が16個、0が8個なので $$P_A(1)=\frac23,\qquad P_A(0)=\frac13.$$ したがって $$H(A) = -\frac23\log_2\frac23-\frac13\log_2\frac13 = \log_2 3-\frac23 \simeq 1.58-0.67 =0.91.$$

情報源Bでは1と0が12個ずつであるから $$H(B)=1.00.$$

同時分布の度数は $$N_{11}=10,\quad N_{10}=6,\quad N_{00}=6,\quad N_{01}=2$$ である。従って $$H(A,B) = -\frac{10}{24}\log_2\frac{10}{24} -2\cdot\frac{6}{24}\log_2\frac{6}{24} -\frac{2}{24}\log_2\frac{2}{24}.$$ 与えられた近似値を用いると $$H(A,B)\simeq 1.82.$$ よって相互情報量は $$I(A;B)=H(A)+H(B)-H(A,B) \simeq 0.91+1.00-1.82=0.09.$$

直流モータでは、磁界中のコイルに電流を流すと、導体にローレンツ力が働き、コイルに回転トルクが 生じる。整流子は半回転ごとにコイル電流の向きを切り替え、トルクの向きが回転を継続する向きに 保たれるようにする。

誘導モータでは、固定子の交流電流が回転磁界を作り、その磁界が回転子に誘導電流を生じさせる。 誘導電流と磁界の相互作用でトルクが発生するため、回転子は同期速度より少し遅れて回る。 同期モータでは、永久磁石または界磁電流で作った回転子磁界が固定子の回転磁界に同期して回る。 定常状態ではすべりがほぼ0で、回転速度は電源周波数と極数で決まる。

平衡点まわりの変位と電流変化を $x,i$ とする。磁力が $$f_m=Mg-K_xx+K_i i$$ と線形化されているので、鉄球の運動方程式は $$M\ddot x=f_m-Mg=-K_xx+K_i i.$$ 従って $$M\ddot x+K_xx=K_i i.$$ 入力を $i$、出力を $x$ とした伝達関数は $$G(s)=\frac{X(s)}{I(s)}=\frac{K_i}{Ms^2+K_x}.$$

これは減衰のない2次系であり、固有角周波数は $$\omega_n=\sqrt{\frac{K_x}{M}}$$ である。低周波ゲインは $K_i/K_x$、共振付近でゲインが大きくなり、十分高い周波数では $-40\,\mathrm{dB/dec}$ で低下する。位相は低周波で $0^\circ$、固有角周波数を越えると $-180^\circ$ 側へ移る。

図2の剛なワイヤ機構では、最短時間制御はバンバン制御になる。 初期から中間時刻までは最大トルク $+\tau_{\max}$ で加速し、その後 $-\tau_{\max}$ に切り替えて減速する。角速度は三角形状、角度は滑らかなS字状になる。

図3の直列ばね機構では、2本のばねの合成により、指に働くばねトルクを $$\tau_s=2KR^2(\theta_2-\theta_1)$$ と書ける。指の慣性モーメントを $I$ とすると $$I\ddot\theta_1=2KR^2(\theta_2-\theta_1).$$ 状態を $$x=\begin{bmatrix}\theta_1\\ \dot\theta_1\end{bmatrix}, \qquad u=\theta_2$$ とすれば $$\dot x = \begin{bmatrix} 0&1\\ -\dfrac{2KR^2}{I}&0 \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{2KR^2}{I} \end{bmatrix}u.$$ 可制御性行列は $$\mathcal C= \begin{bmatrix} 0&\dfrac{2KR^2}{I}\\ \dfrac{2KR^2}{I}&0 \end{bmatrix}$$ であり、$K>0,\ R>0$ ならランク2で可制御である。

モータ側プーリにブレーキをかけると $\theta_2=0$ なので、 $$\tau_s=-2KR^2\theta_1$$ という受動的な復元トルクが生じる。図2の機構でこれと同等の振る舞いを模擬するには、 $$\tau=f(\theta_1)=-2KR^2\theta_1$$ という位置フィードバックを加えればよい。

この制御器は、対象物をつかむ把持、衝突時の衝撃緩和、人と接触するロボット指の柔らかい接触、 位置誤差を許容した挿入作業などで有効である。

識別面は $$f(x)=w^\top x-b=0$$ である。法線ベクトルは $w$ なので、単位法線ベクトルは $$\frac{w}{\|w\|}$$ である。

点 $x_i$ から識別面へ下ろした垂線の足を $\hat x_i$ とする。 $$x_i-\hat x_i=tw$$ と書ける。距離を $r_i=\|x_i-\hat x_i\|$ とすると、 ラベル $y_i\in\{-1,1\}$ を用いて $$t=\frac{y_i r_i}{\|w\|}$$ と表せる。

また $$w^\top \hat x_i-b=0,\qquad x_i=\hat x_i+tw$$ より $$w^\top x_i-b=t\|w\|^2.$$ したがって $$r_i= \frac{y_i(w^\top x_i-b)}{\|w\|}$$ である。

表1では $$(0,0): -1,\quad (5,0):1,\quad (0,5):1$$ である。

$w=(4,3)^\top,\ b=12$ のとき、 $$y_i(w^\top x_i-b)=12,\ 8,\ 3$$ である。最小値は3、$\|w\|=5$ だから $$\delta=\frac35=0.60.$$

$w=(1,1)^\top,\ b=3$ のとき、 $$y_i(w^\top x_i-b)=3,\ 2,\ 2$$ である。最小値は2、$\|w\|=\sqrt2$ だから $$\delta=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\simeq1.41.$$

$(0,0)$ の制約から $$y(w^\top x-b)=1$$ であり、これ以上最小値を大きくできない。残り2点でも最小値が1以上になるには $$5w_1-1\ge 1,\qquad 5w_2-1\ge 1$$ が必要である。すなわち $$w_1\ge\frac25,\qquad w_2\ge\frac25.$$ $\|w\|$ を最小にするには $$w=\begin{bmatrix}2/5\\2/5\end{bmatrix}$$ とすればよい。このとき $$y_i(w^\top x_i-b)=1,\ 1,\ 1$$ であり、 $$\delta=\frac{1}{\|w\|} = \frac{5}{2\sqrt2}.$$

条件 $$\min_i y_i(w^\top x_i-b)=1$$ のもとでは $$\delta=\min_i \frac{y_i(w^\top x_i-b)}{\|w\|} = \frac{1}{\|w\|}$$ である。

表2の制約は $$b\ge1,$$ $$b-\frac12w_1+\frac12w_2\ge1,$$ $$2w_1-b\ge1,$$ $$w_2-b\ge1.$$ $\|w\|^2=w_1^2+w_2^2$ を最小にする解は $$b=1,\qquad w_1=1,\qquad w_2=2$$ である。このとき各制約値は $$1,\quad \frac32,\quad 1,\quad 1$$ で、すべて1以上を満たす。よって最大マージンは $$\delta=\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{1}{\sqrt5}.$$