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東京大学 院試 過去問 解答例

東大 工学系研究科 化学システム工学専攻 化学システム工学 2025年度 院試 過去問 解答例・解説（全5問）

全5問。化学3問。テーマタグは3件（結晶構造・境界層・状態図・相変態）。2024年度と共通のテーマは結晶構造・境界層。

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解説5問と大問1問の途中式・最終答（全5問）
解答PDFに収録
途中式と最終答（最終答つき5問）
問題本文
非収録

東大 化学システム工学 2025年度 院試 過去問の出題内容（全5問）

この5問の分野は化学3問です。

大問分野主題解説の小見出し最終答
第1問化学物理化学1混合ギブズエネルギーの符号 / 部分モル体積を使う理由あり
第2問化学物理化学2紫外側の失敗を数値で見る / 変数変換の要点あり
第3問化学無機化学奇数電子分子の扱い / キラリティの判定あり
第4問—化学工学1CSTR と PFR の違い / 選択率最大点の使い方あり
第5問—化学工学2球面では面積が変わる / シャーウッド数の意味あり

2025年度の出題テーマと、同じテーマを出した他大学・他年度

この年度は2問に3テーマが出ています。

テーマこの年度全体の出題実績他大学の直近出題
結晶構造第3問9大学・44問
境界層第5問8大学・30問
状態図・相変態第3問9大学・24問

前年度（2024年度）との違い

大問数
2024年度 5問 → 2025年度 5問
両年度に出たテーマ
結晶構造・境界層
2025年度で新しく出たテーマ
状態図・相変態
2024年度のページを見る

第1問 — 物理化学1

混合ギブズエネルギーの符号

ln⁡yi≤0\ln y_i\le0 であり、成分が複数あれば少なくとも一つは厳密に負になる。 したがって理想混合の ΔmixG\Delta_{\mathrm{mix}}G は負である。 式を丸暗記するだけでなく、配置の自由度が増えるためにエントロピーが増える、 という物理的理由と結びつけると符号を誤りにくい。

部分モル体積を使う理由

液体混合では体積が単純な加算にならない。 部分モル体積は「その組成の混合液に成分を微量加えたとき体積がどれだけ増えるか」 を表す量であり、混合液全体の体積は V=∑iniVˉi V=\sum_i n_i\bar V_i で評価する。質量分率からモル分率へ直してから読むのが採点上の要点である。

溶解度式の読み方

導出では、固体を仮想的に純液体へ融かし、その純液体を溶液中の溶質へ移す、 という経路を考えている。 融解エンタルピーが大きい物質は結晶が安定なので、飽和溶解度を高くするには より高い温度が必要になる。

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第2問 — 物理化学2

紫外側の失敗を数値で見る

レイリー・ジーンズ式は短波長ほど λ−4\lambda^{-4} で大きくなる。 しかし実際には光子 1 個のエネルギーが大きく、熱的に励起されにくいため、 プランク分布では指数関数によって強く抑えられる。 この差が、上の比で 1616 と 1.8×10−51.8\times10^{-5} という極端な違いになる。

変数変換の要点

ヴィーン則も T4T^4 則も、同じ無次元量 x=hcλkBT x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T} に直すと見通しがよい。最大位置は xx の方で一定になり、全積分では 前に出る T4T^4 だけが温度依存性として残る。

ターフェルプロットの読み方

半対数プロットが直線になるのは、一方の反応方向だけが支配的になった領域である。 低過電圧の直線近似から j0j_0 を読むのではなく、大きな過電圧でのターフェル直線の 切片と傾きを用いる点を区別する。

物理化学2の途中式・最終答をPDFで見る

第3問 — 無機化学

奇数電子分子の扱い

ルイス構造では、八電子則だけでなく価電子数の奇偶を最初に確認する。 NO2\mathrm{NO_2} と NO\mathrm{NO} は奇数電子分子なので、どこかに不対電子が残る。 共鳴構造を描くときも、この不対電子を消してしまわないことが重要である。

キラリティの判定

八面体錯体では、単にシスかトランスかだけでなく、キレート環が作るねじれを確認する。 トリスキレート型とシス型ビスキレートでは Δ/Λ\Delta/\Lambda の鏡像異性が出やすい。 平面四角形錯体は、面そのものが対称面になりやすいため、一般にキラルになりにくい。

相図問題の採点点

相図では、どの相領域にいるか、タイラインの端点がどの組成か、相量をてこの規則で どちら側の長さに対応させるかが要点である。 共晶点では温度が一定のまま相変化が進むことも、加熱曲線で差がつく。

無機化学の途中式・最終答をPDFで見る

第4問 — 化学工学1

CSTR と PFR の違い

CSTR は出口濃度で槽全体が反応するため、低濃度側の反応速度で大きな濃度差を 処理することになる。PFR は入口から出口まで濃度が連続的に変わるため、 速度が濃度とともに大きくなる本問では、同じ転化率に対して PFR の方が小さい体積で済む。

選択率最大点の使い方

B の選択率は低濃度側では C のゼロ次生成に負け、高濃度側では D の二次生成に負ける。 そのため中間濃度に最適点がある。 組み合わせ問題では、CSTR を使うと槽内全体を一点の濃度に固定できるので、 最適濃度で大きな濃度差を処理できる配置を選ぶのが合理的である。

平均選択率の符号

PFR では流れ方向に CAC_A が減る。 積分を CA,1C_{A,1} から CA,0C_{A,0} へ取り直すと正の平均値として扱える。 積分範囲の向きを誤ると、物理的にあり得ない負の選択率になるので注意する。

化学工学1の途中式・最終答をPDFで見る

第5問 — 化学工学2

球面では面積が変わる

球対称拡散で平板と同じ式を書いてはいけない。 半径が大きくなるほど面積 4πr24\pi r^2 が増えるため、 r2Nr r^2N_r の発散をとる形になる。この幾何因子から、定常濃度分布は 1/r1/r 型になる。

シャーウッド数の意味

Sh=kdp/DSh=kd_p/D は、分子拡散だけの場合に比べて、対流を含む物質移動がどれだけ 強められるかを表す。球では純拡散でも Sh=2Sh=2 であり、平板境膜の直感だけで 0 にしてはいけない。

増粘剤の二つの効果

粘度上昇は沈降速度を下げるので、細胞を浮遊させる点では有利である。 一方で Stokes--Einstein 型の関係により、酸素の拡散係数もほぼ粘度に反比例して 低下する。本問の数値では、ShSh の変化よりも DD の 100 分の 1 化が支配的で、 酸素供給は約 1\% まで落ちる。

解答

球対称拡散の収支

半径 rr から r+Δrr+\Delta r の球殻を考える。 時刻 tt における酸素量は 4πr2Δr C 4\pi r^2\Delta r\,C で近似できる。流入は内側面から 4πr2Nr4\pi r^2N_r、流出は外側面から 4π(r+Δr)2Nr+Δr4\pi(r+\Delta r)^2N_{r+\Delta r} であるから ∂∂t(4πr2Δr C)=4πr2Nr−4π(r+Δr)2Nr+Δr. \frac{\partial}{\partial t} \left(4\pi r^2\Delta r\,C\right) = 4\pi r^2N_r -4\pi(r+\Delta r)^2N_{r+\Delta r}. 拡散だけなら Fick の法則より Nr=−D∂C∂r. N_r=-D\frac{\partial C}{\partial r}. Δr→0\Delta r\to0 とすると ∂C∂t=Dr2∂∂r(r2∂C∂r). \frac{\partial C}{\partial t} = \frac{D}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial C}{\partial r} \right).

流れがないときの定常供給

定常状態では 1r2ddr(r2dCdr)=0. \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2\frac{dC}{dr}\right)=0. 境界条件は C(R)=0,C(∞)=Cb. C(R)=0,\qquad C(\infty)=C_b. これより C(r)=Cb(1−Rr) C(r)=C_b\left(1-\frac{R}{r}\right) であり、細胞表面への酸素フラックスは Ns=−DdCdr∣r=R=DCbR. N_s=-D\left.\frac{dC}{dr}\right|_{r=R} = \frac{DC_b}{R}. 境膜モデルでは Ns=D(Cb−0)/δN_s=D(C_b-0)/\delta と書くので δ=R. \delta=R. 数値を入れると Ns=(2.0×10−9)(2.0×10−1)1.0×10−5=4.0×10−5 mol m−2s−1. N_s=\frac{(2.0\times10^{-9})(2.0\times10^{-1})}{1.0\times10^{-5}} = 4.0\times10^{-5}\,\mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}.

相対流れがある場合

右辺第 1 項の 2.02.0 は、球のまわりに流れがない純拡散極限を表す。 粒子レイノルズ数が 0 に近づいても、球面への定常拡散は残るため、 Sh→2.0 Sh\to2.0 となる。

相対速度 u=1.0×10−3 m s−1u=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m\,s^{-1}} のとき Rep=2Rρmuμm=(2.0×10−5)(1.0×103)(1.0×10−3)8.9×10−4=2.2×10−2, Re_p=\frac{2R\rho_m u}{\mu_m} = \frac{(2.0\times10^{-5})(1.0\times10^3)(1.0\times10^{-3})} {8.9\times10^{-4}} = 2.2\times10^{-2}, Sc=μmρmD=8.9×10−4(1.0×103)(2.0×10−9)=4.5×102. Sc=\frac{\mu_m}{\rho_mD} = \frac{8.9\times10^{-4}} {(1.0\times10^3)(2.0\times10^{-9})} = 4.5\times10^2. したがって Sh=2.0+0.60Rep1/2Sc1/3≃2.7. Sh=2.0+0.60Re_p^{1/2}Sc^{1/3} \simeq2.7. 物質移動係数は k=Sh D2R≃(2.7)(2.0×10−9)2.0×10−5=2.7×10−4 m s−1. k=\frac{Sh\,D}{2R} \simeq \frac{(2.7)(2.0\times10^{-9})}{2.0\times10^{-5}} = 2.7\times10^{-4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}. 境膜厚みは δ=Dk=2RSh≃7.4×10−6 m. \delta=\frac{D}{k}=\frac{2R}{Sh} \simeq7.4\times10^{-6}\,\mathrm m. 表面フラックスは Ns=kCb≃(2.7×10−4)(2.0×10−1)=5.4×10−5 mol m−2s−1. N_s=kC_b \simeq (2.7\times10^{-4})(2.0\times10^{-1}) = 5.4\times10^{-5}\,\mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}. 流れなしの場合との比は 5.4×10−54.0×10−5≃1.3. \frac{5.4\times10^{-5}}{4.0\times10^{-5}} \simeq1.3.

沈降速度

粒子径を dp=2Rd_p=2R とする。終端速度では、浮力を差し引いた重力と抵抗力が釣り合う。 πdp36(ρc−ρm)g=12CDρmut2πdp24. \frac{\pi d_p^3}{6}(\rho_c-\rho_m)g = \frac12 C_D\rho_m u_t^2\frac{\pi d_p^2}{4}. まず Stokes 域を仮定すると CD=24Rep,ut=dp2(ρc−ρm)g18μ. C_D=\frac{24}{Re_p},\qquad u_t=\frac{d_p^2(\rho_c-\rho_m)g}{18\mu}. 増粘剤なしでは ut=(2.0×10−5)2(1.0×102)(9.8)18(8.9×10−4)=2.4×10−5 m s−1. u_t= \frac{(2.0\times10^{-5})^2(1.0\times10^2)(9.8)} {18(8.9\times10^{-4})} = 2.4\times10^{-5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}. このとき Rep=ρmdputμm≃5.5×10−4<6 Re_p= \frac{\rho_m d_pu_t}{\mu_m} \simeq5.5\times10^{-4}<6 なので仮定は整合する。

増粘剤添加後は μadd=8.9×10−2 Pa s\mu_{\mathrm{add}}=8.9\times10^{-2}\,\mathrm{Pa\,s} なので ut=2.4×10−7 m s−1,Rep≃5.5×10−8<6. u_t= 2.4\times10^{-7}\,\mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad Re_p\simeq5.5\times10^{-8}<6.

粘度上昇と拡散係数

式 D=16πkBT μlR0n D=\frac{1}{6\pi}k_{\mathrm B}T\,\mu^lR_0^n の次元を比較する。μ\mu の次元は kg m−1s−1\mathrm{kg\,m^{-1}s^{-1}}、kBTk_{\mathrm B}T は kg m2s−2\mathrm{kg\,m^2s^{-2}}、DD は m2s−1\mathrm{m^2s^{-1}} である。 質量次元から 1+l=01+l=0、時間次元から −2−l=−1-2-l=-1 となり l=−1. l=-1. 長さ次元から 2−l+n=22-l+n=2 なので n=−1. n=-1. したがって D∝1μR0. D\propto\frac1{\mu R_0}. 粘度が 100 倍になると Dadd=2.0×10−9100=2.0×10−11 m2 s−1. D_{\mathrm{add}} = \frac{2.0\times10^{-9}}{100} = 2.0\times10^{-11}\,\mathrm{m^2\,s^{-1}}.

沈降流れだけがある場合の無次元数は、増粘剤なしで Rep≃5.5×10−4,Sc≃4.5×102, Re_p\simeq5.5\times10^{-4},\qquad Sc\simeq4.5\times10^2, 増粘剤ありで Rep≃5.5×10−8,Sc=8.9×10−2(1.0×103)(2.0×10−11)≃4.5×106. Re_p\simeq5.5\times10^{-8},\qquad Sc= \frac{8.9\times10^{-2}} {(1.0\times10^3)(2.0\times10^{-11})} \simeq4.5\times10^6. それぞれ Shno≃2.11,Shadd≃2.02. Sh_{\mathrm{no}}\simeq2.11,\qquad Sh_{\mathrm{add}}\simeq2.02. したがって Ns,addNs,no=ShaddDaddShnoD≃2.022.11×10−2=9.6×10−3. \frac{N_{s,\mathrm{add}}}{N_{s,\mathrm{no}}} = \frac{Sh_{\mathrm{add}}D_{\mathrm{add}}} {Sh_{\mathrm{no}}D} \simeq \frac{2.02}{2.11}\times10^{-2} = 9.6\times10^{-3}. 増粘剤を加えると、沈降は抑えられるが、酸素拡散も大きく低下する。

最終答

∂C∂t=Dr2∂∂r(r2∂C∂r),Ns=DCbR,δ=R. \frac{\partial C}{\partial t} = \frac{D}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left(r^2\frac{\partial C}{\partial r}\right), \qquad N_s=\frac{DC_b}{R},\qquad \delta=R. 流れなしでは Ns=4.0×10−5 mol m−2s−1. N_s=4.0\times10^{-5}\,\mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}. 外部流れ u=1.0×10−3 m s−1u=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m\,s^{-1}} では Rep=2.2×10−2,Sc=4.5×102,Sh≃2.7,δ≃7.4×10−6 m, Re_p=2.2\times10^{-2},\quad Sc=4.5\times10^2,\quad Sh\simeq2.7,\quad \delta\simeq7.4\times10^{-6}\,\mathrm m, Ns≃5.4×10−5 mol m−2s−1,流れなしの約 1.3 倍. N_s\simeq5.4\times10^{-5}\,\mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}, \quad\text{流れなしの約 }1.3\text{ 倍}. 沈降速度は、増粘剤なしで 2.4×10−5 m s−12.4\times10^{-5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}、 増粘剤ありで 2.4×10−7 m s−12.4\times10^{-7}\,\mathrm{m\,s^{-1}}。 l=−1,n=−1,Dadd=2.0×10−11 m2s−1,Ns,add/Ns,no≃9.6×10−3. l=-1,\quad n=-1,\quad D_{\mathrm{add}}=2.0\times10^{-11}\,\mathrm{m^2s^{-1}}, \quad N_{s,\mathrm{add}}/N_{s,\mathrm{no}}\simeq9.6\times10^{-3}.

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