静岡大 総合科学技術研究科 理学専攻 数学コース 数学 2024年第2回募集 院試 解答例・解説

方針

英語で書く問題でも、証明の骨格は日本語の答案と同じでよい。第(1)問はスカラー倍の連続性、第(2)問は「連続写像は開集合の逆像を開集合にする」という定義をそのまま使う。

答案上の注意

第(1)問で $\alpha=0$ の場合を別扱いしなくても、分母を $|\alpha|+1$ としておけば一行で処理できる。第(2)問は、逆像の公式だけを書いて終わるよりも、対象の集合が $Y$ の開集合であることを先に明記すると減点されにくい。

方針

4小問はそれぞれ、コンパクト性、べき級数の端点判定、二次形式つき線形関数最大化、置換積分が主題である。特に第(3)問はラグランジュ未定乗数法でも解けるが、二次形式の内積として見ると計算が短い。

典型ミス

第(2)問では $x=1$ と $x=-1$ の端点を必ず別々に判定する。収束半径だけでは端点は決まらない。第(4)問は根号内を $y^3+y^2+1$ と見て、外側の係数がその微分の半分になっていることに気づくのが最短である。

方針

線形写像は「基底の行き先で完全に決まる」という事実を、定義から順に確認する問題である。第(3)問と第(4)問を合わせると、$\operatorname{Hom}(V,W)$ を $W^m$ と同一視できる。

答案上の注意

第(6)問では標準的な同型は基底の選び方に依存する。問題は「同型であること」を示すだけなので、同じ有限次元を持つことから存在を示せば十分である。基底を使って具体的に $$\phi\in V^\ast \longmapsto (\phi(v_1),\ldots,\phi(v_m))$$ と座標化してもよい。

方針

標準定理「コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射は同相」を、構成要素に分けて証明する問題である。第(1)問と第(2)問が、その定理の前提として使われる。

反例の選び方

第(4)問は位相を粗くした2点空間、第(5)問は半開区間を円周へ巻く写像を使うと簡潔である。反例では、連続性・全単射性・同相でない理由をそれぞれ明示することが重要である。特に第(5)問では、円周上では同じ点へ近づく列でも、パラメータ区間では端点 $2\pi$ 側へ逃げるため、逆写像の連続性が破れる。