大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2025年度春入学 院試 解答例・解説

方針

対角成分と非対角成分が一定の行列は，$\mathbf{1}$ 方向とその直交補空間に分けると一気に対角化できる。行基本変形で押し切るより，固有空間分解を使う方が階数と連立方程式の可解条件まで同時に見える。

典型ミス

$s=t$ の場合を「固有値が1つだけ消える」と誤る答案が多い。このとき $A=tJ$ なので階数は $1$ である。また $s=-3t$ のときは特異だが，右辺が $\mathbf{1}^{\perp}$ に入るため解は存在する。正則性と可解性を混同しないこと。

方針

この問題の内積は，ベクトルそのものではなく対応する多項式の積分で定義されている。したがって直交条件は「$1$ と $x$ に対するモーメントが $0$」という2本の一次方程式になる。

試験で書くべきポイント

(1) では「積分が $0$ だから多項式が $0$」を一言で済ませず，非負連続関数の積分が $0$ なら恒等的に $0$ であること，さらに多項式の係数がすべて $0$ になることまで書くと答案として安全である。

方針

(2) は $(\sin^{-1}x)^2$ の級数を直接覚えていなくても，(1) の微分方程式から係数比較で出せる。偶関数であることを先に使うと，奇数次をすべて処理できる。

検算

$k=1$ では $f''(0)=2$，$k=2$ では係数が $1/3$ なので $f^{(4)}(0)=24/3=8$ となる。これは $$\sin^{-1}x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$ から $(\sin^{-1}x)^2=x^2+\frac{x^4}{3}+O(x^6)$ と一致する。

方針

原点近くでは $f\sim r^{-2}$ なので絶対値の積分は $\int dr/r$ 型で発散する。一方，符号付きでは角度方向の平均 $\int\cos2\varphi\,d\varphi$ が効く。逐次積分の値が入れ替えで変わるのは，絶対可積分でないことの典型例である。

典型ミス

(3) で (1), (2) の値が異なることだけから「重積分は存在しない」と断定してはいけない。ここでは原点を円でくり抜く標準的な広義積分では角度方向の発散項が打ち消される。ただし絶対収束ではないため，Fubini の定理をそのまま使うことはできない。

方針

固有多項式だけでは $0$ 固有値の Jordan ブロックサイズは決まらない。ここでは $\ker A$ が1次元であること，また $Av_2=v_1,\ Av_3=v_2$ となる Jordan 鎖を実際に作ることで，$3$ 次ブロックが1つあると分かる。

検算

上の $P$ は $\det P=1$ なので確かに正則である。また $J^3=\operatorname{diag}(0,0,0,1)$ になるため，$A^3=PJ^3P^{-1}$ は射影行列で，実際に $A^4=A^3$ を満たす。

方針

共役類と中心化群の関係は「軌道と固定部分群」の基本例である。(2) の写像は自然に思いつくが，商集合から定める以上，well-defined と単射性を必ず確認する。

典型ミス

$G/Z(G)$ の中心が常に自明だと勘違いしやすい。正しい主張は「$G/Z(G)$ が巡回群なら $G$ は可換」であり，その場合は商が自明になる。任意の群で中心が消えるわけではない。

方針

根基の加法閉性では，$(a+b)^N$ の各項が $a^m$ または $b^n$ を因子に持つように $N=m+n-1$ と選ぶのが定石である。

試験で書くべきポイント

(4) では「$\sqrt{(a)}$ が素」から「$a$ が素元の冪」と結論するまでに，UFD の一意分解を明示する必要がある。特に複数の非同伴な素因子があると，そのうち1つの冪だけでは $a$ を割り切れない，という割り切りの矛盾を書く。

方針

$f$ は3乗根，$g$ は4乗根，$h$ は8乗根の有無を見る問題である。有限体 $\mathbb{F}_p^\times$ は位数 $p-1$ の巡回群なので，必要な位数の元が存在するかを合同条件に直せる。

典型ミス

$p=2,3$ では重根が出るため，奇素数での合同条件をそのまま使うと誤る。小さい標数は必ず直接因数分解して確認する。

方針

弱 Hausdorff の定義は「コンパクト Hausdorff 空間からの像が閉」という形なので，証明では常にコンパクト Hausdorff な閉部分空間を作り，その像が閉であることを使う。

試験で書くべきポイント

(3) の分離では，単に $K$ 上で $A_1,A_2$ を分離するだけでは足りない。その開集合を $f(K)$ 側の開集合に押し下げるために，$f(K\setminus U_i)$ が閉であることを使うのが核心である。

方針

球面幾何の面積公式と，球面分割の Euler 公式を組み合わせる問題である。面積が等しいことは (1) で使い，頂点数と隣接条件は (2) で $E$ を決めるために使う。

典型ミス

$48n=E$ としてしまうと各辺を二重に数えていない。隣接する2つの面が1つの辺を共有するので，面から数えた辺の総数は $2E$ である。

方針

上半平面は開部分多様体なので，接空間も微分写像も通常の $\mathbb{R}^2$ の微分で計算できる。抽象的な定義を述べた後は，座標表示に戻してよい。

典型ミス

$[X,Y]$ の符号に注意する。定義を $[X,Y]=XY-YX$ としているなら，$Y(y)=y$ が効いて $x$ 成分は $-y$ になる。

方針

(1) の空間は円に弦を1本加えたグラフであり，ホモロジーはグラフの閉路数で読める。(3) は $S^2$ に1本の弧を付けるので，ホモトピー型としては $S^2\vee S^1$ と同じになり，Euler 標数が $1$ になる。

典型ミス

(3) で四面体境界を使うと，北極と南極を結ぶ辺がすでに存在してしまい，追加する内側の線分を単体複体として区別できない。正八面体境界のように $N$ と $S$ が辺で結ばれていない分割を選ぶと安全である。

方針

この空間は可縮だが，基点 $a$ の近くで細い縦線分が $x=0$ に集積しているため，基点を固定した縮約はできない。通常のホモトピーと基点固定ホモトピーを区別するのがこの問題の核心である。

試験で書くべきポイント

(3) では「直感的に無理」と書くだけでは不十分である。$p_n=(1/n,1)\to a$ と一様連続性を組み合わせ，$a$ の小近傍内に $p_n$ と $a$ を結ぶ道が生じてしまう，という矛盾を明示する。

方針

(2) は二項分布の Poisson 極限定理そのものである。ただし答案では，$(1-p_n)^n\to e^{-\alpha}$ を示すために (1) の対数評価を使うのが自然である。

典型ミス

$(1-p_n)^{n-k}$ の $k$ は固定である。したがって $(1-p_n)^{-k}\to1$ を分けて処理すればよい。$k$ が $n$ とともに動く場合の近似と混同しないこと。

方針

分母が $z^2+4$ なので，上半平面で拾う極は $2i$ のみである。$e^{iz}$ は上半平面で減衰するため，上半円で閉じるのが自然である。

検算

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{x^2+a^2}\,dx=\frac{\pi}{a}e^{-a}$ という標準公式に $a=2$ を入れると $\pi e^{-2}/2$ であり，上の結果と一致する。

方針

射影の問題では，部分空間の基底を直交化するのが第一手である。この問題では最初から $1$ と $\cos\theta$ が直交しているため，Fourier 係数をそのまま書けばよい。

典型ミス

$\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2\theta\,d\theta$ は $2\pi$ ではなく $\pi$ である。定数成分と余弦成分で正規化係数が違う点に注意する。

方針

(1) は同次形なので $x/t$ を導入する。(3) は平衡点を先に完全に出し，それぞれの Jacobi 行列の固有値で局所安定性を判定する。

典型ミス

$a=1$ では2つの平衡点が合流し，線形化に固有値 $0$ が出る。ここで「判定不能」のまま終えると安定性を調べたことにならない。中心多様体上の2次項を見ると不安定である。

方針

条件 $(*)$ は一様可積分性の尾部条件である。(1) は「大きい値の部分」と「有界な部分」に分け，有界な部分は $t\mu(A)$ で抑える。

典型ミス

(2) で $\mu(A_n)=1/n$ を掛け忘れると条件がずれる。積分値は振幅 $n^\kappa$ ではなく，振幅と台の測度を掛けた $n^{\kappa-1}$ で判定する。

方針

(2) が Markov の不等式で，(3) はそれを二乗偏差に適用した Chebyshev の不等式である。(4) も同じく Markov の不等式を絶対値に適用するだけでよい。

典型ミス

(5) は $Z>0$ 上に制限して Cauchy--Schwarz を使うのが短い。非負整数値という条件から $Z=0$ と $Z>0$ の分解が自然に出る。

方針

$U$ はしきい値を超えたかどうかを表す指示変数である。したがって期待値は成功確率，分散は $q(1-q)$ になる。

典型ミス

(4) で $X_j<2$ は幾何分布の台が $1,2,\ldots$ であるため $X_j=1$ と同じである。成功確率は $\Pr(X_j=1)=p$ であり，$\Pr(X_j<2)=1-(1-p)^2$ ではない。