大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2024年度2次募集 院試 解答例・解説

方針

$\lambda I+a{}^tb$ は階数1摂動である。$b$ に直交する平面では摂動項が消えるため、$\lambda$ の固有空間がすぐに見える。

対角化判定

${}^tba\ne0$ なら2次元平面 $b^\perp$ と直線 $\mathbb Ra$ が固有空間の直和を作る。${}^tba=0$ では階数1の冪零部分が残るため、固有値が1つしかない非スカラー行列になり対角化できない。

外積の見方

外積は「任意の $x$ に対して $(a\times b,x)=\det(a,b,x)$」で特徴付けると、余因子行列との関係を内積の等式として処理できる。

方針

積分では分母が $x+2y$、分子が $x-2y$ の形なので、この2つをそのまま新変数にするのが最短である。領域も三角形から単純な帯状領域に変わる。

極座標の計算

勾配の式は、半径方向成分と角方向成分が直交することを表している。ラプラシアンは暗記してもよいが、試験答案では $g_r,g_\theta$ の式を先に書くと説得力がある。

典型ミス

点収束と一様収束の違いを積分で問う典型問題である。幅が $1/n$、高さが $n$ の三角形スパイクを使うと、点ごとには消えるが面積だけが残る。

方針

これは一点コンパクト化の標準定理である。無限遠点 $\infty$ の近傍は「コンパクト閉集合の外側」である、という定義を常に使う。

コンパクト性の核心

任意の開被覆で $\infty$ を含む開集合を一つ選ぶと、その開集合は $X$ のコンパクト部分以外を一気に覆う。残ったコンパクト部分だけを有限個で覆えばよい。

試験で書くべき点

Hausdorff 性と局所コンパクト性の同値部分では、$x$ と $\infty$ の分離を使う。ここで得られる $x$ の近傍がコンパクト集合に含まれることを明記するのが採点上重要である。

方針

この幾何分布は「1回目の成功が出る時刻」を表す型で、台は $1,2,\dots$ である。したがって尾確率が $p^x$ になることを最初に押さえると、無記憶性も期待値計算も簡単になる。

無記憶性の特徴付け

無記憶性は尾確率の乗法性 $q_{m+n}=q_mq_n$ に直すと一気に解ける。自然数上なので、$q_n=q_1^n$ が帰納法で出る。

典型ミス

台が $0,1,2,\dots$ の幾何分布と混同しないこと。この問題では $P(X=x)=(1-p)p^{x-1}$ なので、期待値と分散は $1/(1-p)$、$p/(1-p)^2$ になる。