大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2024年度2次募集 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

まず $a=b=(1,1,1)^T$ の場合を考える。このとき $$A=\lambda I_3+ \begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$$ である。正規直交基底として $$u_1=\frac1{\sqrt3}(1,1,1)^T,\quad u_2=\frac1{\sqrt2}(1,-1,0)^T,\quad u_3=\frac1{\sqrt6}(1,1,-2)^T$$ を取ると、$u_1$ は固有値 $\lambda+3$、$u_2,u_3$ は固有値 $\lambda$ の固有ベクトルである。したがって $$P=(u_1\ u_2\ u_3)$$ とおけば $${}^tPAP=\operatorname{diag}(\lambda+3,\lambda,\lambda).$$

一般の $a,b\ne0$ について $$A=\lambda I_3+a\,{}^tb$$ と書ける。$x$ に対して $$Ax=\lambda x+a({}^tbx)$$ である。まず $x\in b^\perp$ なら ${}^tbx=0$ だから $Ax=\lambda x$ である。したがって $\lambda$ は少なくとも2次元の固有空間 $b^\perp$ をもつ。

また $$Aa=(\lambda+{}^tba)a$$ であるから、もう一つの固有値は $$\lambda+{}^tba$$ である。よって固有値は $$\lambda\quad(\text{代数的重複度 }2),\qquad \lambda+{}^tba$$ である。ただし ${}^tba=0$ のときは固有値は $\lambda$ のみである。

${}^tba\ne0$ なら、$a\notin b^\perp$ なので $$\mathbb R^3=b^\perp\oplus \mathbb R a$$ となり、$A$ は対角化可能である。${}^tba=0$ なら $$A-\lambda I_3=a\,{}^tb$$ は零でない階数1行列で、$(A-\lambda I_3)^2=a({}^tba){}^tb=0$ である。したがって $A\ne\lambda I$ かつ冪零部分が残るので対角化できない。よって対角化不可能であるための必要十分条件は $${}^tba=0,$$ すなわち $a$ と $b$ が直交することである。

次に外積の主張を示す。標準内積を $(\ ,\ )$ とする。すべての $y$ に対して $(x,y)=(z,y)$ なら、$y=x-z$ と取って $$\|x-z\|^2=0$$ となるから $x=z$ である。

また $$f_{a,b}(x)=\det(a,b,x)$$ は $x$ について線形であり、標準的な外積の性質から $$\det(a,b,x)=(a\times b,x)$$ である。前段の非退化性により、この条件を満たす $c$ は $$c=a\times b$$ に限る。

$A$ を正則行列、$\widetilde A$ を余因子行列とする。任意の $x$ について、行列式の変換公式から $$f_{Aa,Ab}(x)=\det(Aa,Ab,x)=({}^t\widetilde A(a\times b),x)$$ が成り立つ。一方、外積の特徴付けより $$f_{Aa,Ab}(x)=(Aa\times Ab,x)$$ でもある。任意の $x$ に対して内積が等しいので、 $$Aa\times Ab={}^t\widetilde A(a\times b)$$ を得る。