大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2025年度2次募集 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

前半の行列を $$A= \begin{pmatrix} 1&2&1\\ c&-1&-1\\ -2c&-2&0 \end{pmatrix}$$ とおく。特性多項式を計算すると $$\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)^2(\lambda+2)$$ である。したがって固有値は $$1\quad(\text{重複度 }2),\qquad -2\quad(\text{重複度 }1)$$ である。

$\lambda=1$ に対しては $$(A-I)x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x_2+x_3=0,\qquad c x_1=0$$ となる。よって $c\ne0$ なら固有空間は $$E_1=\operatorname{span}\{(0,1,-2)^T\}$$ の1次元であり、代数的重複度2に足りないから対角化できない。

$c=0$ なら $$E_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)^T,\,(0,1,-2)^T\}$$ である。また $\lambda=-2$ の固有ベクトルとして $$(-1,1,1)^T$$ を取れる。したがって $c=0$ のときだけ対角化可能で、例えば $$P= \begin{pmatrix} 1&0&-1\\ 0&1&1\\ 0&-2&1 \end{pmatrix}$$ とすれば $$P^{-1}AP=\operatorname{diag}(1,1,-2)$$ である。

後半では $$v_k=(a^k,b^k,c^k)^T$$ と読む。$v_0,v_1,v_2$ を列にもつ行列は $$\begin{pmatrix} 1&a&a^2\\ 1&b&b^2\\ 1&c&c^2 \end{pmatrix}$$ であり、その行列式は $$(b-a)(c-a)(c-b)$$ である。したがって一次独立であるための必要十分条件は $$a,b,c \text{ が相異なること}$$ である。

この条件のもとで、任意の $\alpha,\beta,\gamma$ に対し $$f(a)=\alpha,\qquad f(b)=\beta,\qquad f(c)=\gamma$$ を満たす2次以下の多項式 $f$ は一意に存在する。実際、差があれば3点 $a,b,c$ を根にもつ2次以下の多項式になり、零多項式しかない。存在はラグランジュ補間 $$f(t)= \alpha\frac{(t-b)(t-c)}{(a-b)(a-c)} +\beta\frac{(t-a)(t-c)}{(b-a)(b-c)} +\gamma\frac{(t-a)(t-b)}{(c-a)(c-b)}$$ で与えられる。

$$s_1=a+b+c,\qquad s_2=ab+bc+ca,\qquad s_3=abc$$ とおくと、各 $r=a,b,c$ は $$r^3-s_1r^2+s_2r-s_3=0$$ を満たす。したがって $$v_3=s_3v_0-s_2v_1+s_1v_2.$$ さらに $r^4=s_1r^3-s_2r^2+s_3r$ と上の式を代入して $$r^4=s_1s_3+(s_3-s_1s_2)r+(s_1^2-s_2)r^2$$ を得るので、 $$v_4=s_1s_3v_0+(s_3-s_1s_2)v_1+(s_1^2-s_2)v_2.$$