大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2025年度2次募集 院試 解答例・解説

方針

線形代数の前半は、重複固有値 $1$ の固有空間の次元だけが本質である。特性多項式を出したあと、$\lambda=1$ の固有空間を $c=0$ と $c\ne0$ に分けて調べればよい。

典型ミス

固有値がすべて実数であることと対角化可能性は別である。今回のように固有値 $1$ が重複している場合、固有空間の次元が2になるかを必ず確認する。

補間の見方

後半は Vandermonde 行列と剰余計算である。$a,b,c$ が相異なるとき、3点での値は2次以下の多項式を一意に決める。$v_3,v_4$ の式は、各成分 $a,b,c$ が同じ3次方程式を満たすことから同時に得られる。

方針

前半の広義積分は極座標で特異性が消える形になっている。原点での $r^{-2}$ と面積要素の $r$、さらに $|y|=r|\sin\theta|$ がちょうど釣り合う。

経路極限の注意

$x^y$ は $\exp(y\log x)$ と見れば扱いやすい。直線的に近づくと $y\log x\to0$ だが、$x=e^{-1/y}$ のように近づくと $y\log x$ が非零定数になる。

試験で書くべき点

近似単位の証明では、中心部を一様連続性で抑え、裾を有界性と質量集中で抑える。この2分割を明示すれば、各点収束ではなく一様収束であることがはっきりする。

方針

これは「コンパクト集合との交わりで閉性を判定する」問題である。局所コンパクト Hausdorff 空間では、各点の近くにコンパクト近傍があるため、局所的な閉性から通常の閉性を復元できる。

閉写像の証明

閉写像性では、閉集合 $C$ の像 $f(C)$ を直接追うよりも、任意のコンパクト $K\subset X$ との交わり $$K\cap f(C)=f(C\cap f^{-1}(K))$$ を見るのが自然である。仮定がちょうどここで使われ、右辺がコンパクト像になる。

典型ミス

コンパクト集合が閉であるためには Hausdorff 性が必要である。最後の段階で「コンパクトだから閉」と書く場合は、$K$ が Hausdorff であることを一言添えると答案が正確になる。

方針

確率収束の代数演算は、集合の包含関係と確率の劣加法性で処理する。三角不等式を確率事象の包含に翻訳するのが基本である。

有界変換の意味

$|x|/(1+|x|)$ は大きな値を $1$ 未満に押し込む有界な関数であり、原点付近では $|x|$ と同程度に小さい。このため、期待値の収束と確率収束を橋渡しできる。

典型ミス

$E|X_n|\to0$ と同じだと思ってはいけない。ここで使うのは有界な変換の期待値であり、可積分性の強い仮定を置かなくても議論できる点が重要である。