大阪公立大 理学研究科 数学専攻 数学 2024年度春入学 院試 解答例・解説

方針

列空間の問題と核の問題は，同じ行基本変形で同時に処理するのが最も確実である。既約階段形で主列を読むと列空間の基底が得られ，非主変数を自由変数にすると $Ax=0$ の基底が得られる。

検算

実際に $$3a_1-2a_2=(13,2,4,9)^T,\qquad a_1+2a_2-a_4=(7,-4,5,3)^T$$ である。また $A(-3,2,1,0,0)^T=-3a_1+2a_2+a_3=0$， $A(-1,-2,0,1,1)^T=-a_1-2a_2+a_4+a_5=0$ なので，核の基底も関係式と一致している。

試験で書くべきポイント

「$a_3,a_5$ が $a_1,a_2,a_4$ の一次結合で書ける」だけでなく，$a_1,a_2,a_4$ が一次独立であることを階段形の主列から明示する。これを書かないと，基底であることの確認が不足する。

方針

対称行列なので，異なる固有値の固有ベクトルは自動的に直交する。最後のノルム計算は，逆行列を直接求めるより，直交固有基底に分解する方が短く，かつ計算ミスが少ない。

典型ミス

方程式を $(A-\alpha I)x=b$ と見るため，係数は $(\lambda_j-\alpha)^{-1}$ である。二乗後は符号が消えるが，途中で $(\alpha-\lambda_j)^{-1}$ と混在させると内積成分の符号を誤りやすい。

検算

$b$ の直交固有基底への射影の大きさが $3,2,1$ であることが，右辺の分子 $9,4,1$ と対応している。したがって最終式の形は固有値と射影だけから確認できる。

方針

極限計算では両項が $1/(2x)$ の特異性を持つ。必要なのは特異項の次の定数項だけなので，逆数展開は $1+cx+O(x^2)$ までで十分である。

典型ミス

$x\cos x$ の展開は $x$ を掛けた後の次数でそろえる。$\cos x$ を $x^5$ まで書く必要はなく，$x\cos x$ で $x^5$ まで必要だから $\cos x$ は $x^4$ までで足りる。

試験で書くべきポイント

チェザロ平均の証明では，有限個の初項の寄与が $C/n$ で消えることと，十分後ろの項が一様に $\varepsilon$ で抑えられることを分けて書くとよい。

方針

この立体は $z$ 方向の高さが半径 $r$ だけで決まる。したがって，薄い円環の面積 $2\pi r\,dr$ に高さ $f(r)$ を掛けて足し合わせる，という見方でも同じ公式が得られる。

検算

$f(r)=\sinh r$ では $I'(a)=2\pi a\sinh a$ であり，求めた式を微分しても同じになる。初期値 $I(0)=0$ も満たしている。

典型ミス

最後の極限では $f(a)^2=a^4(\arctan a)^2$ である。$I(a)$ の主要項も $a^4$ 次なので，$\arctan a$ を定数 $\pi/2$ と見た主要項の比較だけでも極限は $1$ と確認できる。

方針

$M_2(\mathbb C)$ の元を「2本の列ベクトル」と見ると，左乗法 $B\mapsto XB$ は各列に同じ $X$ を掛ける操作である。そのため，固有空間は $X$ 自身の固有空間を列ごとに並べたものになる。

典型ミス

$a=b$ のときも $2$ が非零なので，$X$ はスカラー行列ではない。固有値が1つに合流しただけで固有空間は4次元にならない。

検算

非対角化の場合，$A-aI$ は第3標準基底を $2$ 倍の第1標準基底へ，第4標準基底を $2$ 倍の第2標準基底へ送る。したがって長さ2のジョルダン鎖が2本ある。

方針

前半はラグランジュの定理と第一同型定理の標準問題である。後半は「平方写像が準同型なら可換性が出る」ことと，「何度でも平方根が取れるなら整数値準同型の値は任意に高い $2$ の冪で割れる」ことが核心である。

典型ミス

$KH$ が部分群であるためには $H$ の正規性が必要である。積の閉性だけを形式的に書くのではなく，$kHk^{-1}=H$ を使って $H$ の元を右側に戻す操作を書く。

試験で書くべきポイント

$K/(K\cap H)\simeq KH/H$ は第二同型定理そのものだが，試験では写像 $\theta(k)=kH$ の核と像を明記すると減点されにくい。

方針

核は曲線の関係式 $y^2=x^3$ から予想する。厳密には $y$ について割り算し，余り $r_0(x)+r_1(x)y$ を $t$ に代入して，偶数次数と奇数次数を比較する。

典型ミス

$t^2,t^3$ が $\mathbb C[t]$ で既約かどうかを議論してはいけない。問題は部分環 $\mathbb C[t^2,t^3]$ の中での既約性であり，この環には $t$ が入っていない。

試験で書くべきポイント

$\mathbb C[z]$ と同型でないことは，「正規でない」などの言葉でも示せるが，本問では $t^2$ が既約で素でないことを示すのが最も短い。

方針

$L=\mathbb Q(\alpha_1,\alpha_2)$ と書かれているが，実質的には $\mathbb Q(\sqrt[3]{2},\omega)$ である。$\omega=\alpha_2/\alpha_1$ に気づくと，分解体であることがすぐ分かる。

典型ミス

$[\mathbb Q(\alpha_1,\omega):\mathbb Q]=6$ を示すとき，単に $3\cdot2$ と掛けるだけでは不十分である。交わりが $\mathbb Q$ である理由として，次数が $3$ と $2$ の公約数でなければならないことを書く。

検算

分解体のガロア群は3次既約多項式の根に推移的に作用する。今回は拡大次数が $6$ なので，$S_3$ の真部分群ではなく全体になる。

方針

$[x]$ は「$x$ から見て区別できないほど近い点」の集合であり，閉包関係 $x\in\overline{\{y\}}$ と同じ情報を逆向きに表している。この同値を最初に押さえると，全体が特殊化順序の問題として整理できる。

典型ミス

(3) の逆向きでは，$f(x)\in\overline{\{f(z)\}}$ から $f(z)\in V$ を導く場面で，$V$ が $f(x)$ の開近傍であることを使う。閉包の定義を点の近傍で正確に書くことが重要である。

試験で書くべきポイント

既約性は「任意の2つの空でない開集合が交わる」と同値である。この同値を閉集合の定義から一行で示してから使うと，最後の逆向きの証明が明瞭になる。

方針

面積条件から球面三角形の面積を出し，ジラールの定理で内角和へ変換する。頂点数は角度ではなく，面・辺・頂点の組合せとしてオイラーの公式で求める。

典型ミス

辺の数を $6\cdot3+7\cdot4=46$ としてしまう誤りが多い。これは面ごとに見た辺の延べ数であり，各実際の辺は2回ずつ数えられている。

検算

$V=12,E=23,F=13$ は $$12-23+13=2$$ を満たす。球面分割なので，最後に必ずオイラー標数 $2$ と一致するか確認する。

方針

微分の局所表示はヤコビ行列そのものである。2形式の引き戻しはヤコビアンを掛けるだけなので，(1) の行列式をそのまま使える。

典型ミス

$v$ の範囲は $(-\pi,\pi)$ であり，端点 $\pi$ は含まれない。そのため楕円全体ではなく，$t=\pi$ に対応する点だけが抜ける。

検算

ヤコビアンは $$\sinh^2u\cos^2v+\cosh^2u\sin^2v\ge0$$ であり，向きが反転して負になることはない。積分値が正になることもこの形から確認できる。

方針

1次元複体では $\chi=c-b_1$ を使う。2次元の例は，具体的な三角形のリストよりも，既知の複体を貼り合わせてオイラー標数を計算する方が安全である。

典型ミス

(3) では $B_1$ の生成元が4個あっても，階数が4とは限らない。実際には関係があり，スミス標準形から階数3であることが分かる。

試験で書くべきポイント

$H_2$ はオイラー標数だけで階数が分かるが，ねじれはない。なぜなら $H_2=\ker\partial_2$ は自由アーベル群 $C_2$ の部分群だからである。

方針

$U_1$ と $U_2$ はそれぞれ片方の穴だけを持つ空間で，交わりは穴のない帯である。したがって，和集合は「2つの円周を1点で貼った空間」と同じ基本群を持つ。

典型ミス

$U_1\cap U_2$ からは除外点が消える。原点は $a=0$，点 $(2,0)$ は $a=2$ にあるので，どちらも $0<a<2$ の帯には入らない。

試験で書くべきポイント

ファン・カンペンを使うときは，$U_1\cap U_2$ が弧状連結で基本群が自明であることを書く。これにより自由積 $\mathbb Z*\mathbb Z$ がそのまま出る。

方針

核 $|x-y|^{-\alpha}$ は対角線上で特異だが，$\alpha<1$ なので1次元では可積分である。近傍部分の寄与を $n^{\alpha-1}$ で一様に抑えることが鍵である。

典型ミス

(2) は点ごとの極限だが，実際には上の評価により一様に $0$ へ収束している。端点 $x=0,1$ でも片側積分になるだけなので，同じ上界で処理できる。

試験で書くべきポイント

$h$ の連続性は，特異核を切り詰めた有界連続核 $K_m$ で近似して示すと明快である。いきなり積分内の連続性だけを述べると，対角線上の特異性の扱いが不足する。

方針

$e^{iz}$ は上半平面で $e^{-\operatorname{Im}z}$ の減衰を持つので，上半円を閉じる。弧積分が $0$ になることを先に示しておくと，実軸上の積分が上半平面の留数だけで決まる。

典型ミス

$z^4+1$ の上半平面の極は2つだけである。$e^{5\pi i/4}$，$e^{7\pi i/4}$ は下半平面にあるので，この輪郭では数えない。

検算

被積分関数 $\cos x/(x^4+1)$ は偶関数であり，既知の形 $$2\int_0^\infty \frac{\cos x}{x^4+1}\,dx$$ と一致する。答えは正で，指数減衰因子 $e^{-1/\sqrt2}$ を含む。

方針

閉作用素の定義は「グラフが閉」である。核の閉性も，商上の作用素の閉性も，収束列をグラフに持ち込んで閉性を使う形に落とす。

典型ミス

$T$ は一般に $X$ 全体で定義されていない。$u_n=x_n-w_n$ を作るとき，$w_n\in N\subset D(T)$ であり，$D(T)$ が線形部分空間であることを使って $u_n\in D(T)$ と確認する必要がある。

試験で書くべきポイント

商ノルムの正定値性では $N$ が閉であることを使う。ここが (1) と (2) の接続部分であり，書き落とすとノルムではなく半ノルムの確認に留まってしまう。

方針

定数係数の場合は固有値で安定性を見る。2次元では，固有値を直接解かなくても，トレースが負かつ行列式が正であれば実部が負になる。

典型ミス

(2) では固有値 $1$ の項が $e^t$ で増大する。初期値条件は $C_1=0$ であり，$p,q$ の関係に戻すと $q=-3p$ である。

検算

(4) の行列は $$\begin{pmatrix}a&1\\-1&a\end{pmatrix}$$ で，回転成分と拡大縮小成分に分かれている。ノルム平方が $e^{2at}$ 倍されるため，$a<0$ なら全ての軌道が原点へ縮む。

方針

差分商を作り，平均値の定理で偏微分の絶対値評価に帰着する。その差分商を可積分関数で支配できるので，支配収束定理により極限と積分を交換できる。

典型ミス

ガンマ関数では $x=0$ と $x=\infty$ の両方で可積分性を確認する必要がある。$x=0$ では $x^{s_0/2-1}|\log x|$，無限遠では指数減衰 $e^{-x}$ が効く。

試験で書くべきポイント

(1) の仮定は偏微分の絶対値が1つの可積分関数で支配されるという形で使う。この点を明記すると，支配収束定理の適用条件がはっきりする。

方針

$Y_c$ は $X$ の一部を符号反転した変数だが，標準正規分布が対称なので周辺分布は $X$ と同じである。一方，$|Y_c|=|X|$ は完全に保たれるため，独立ではない。

典型ミス

$Y_c$ の分布が $c$ に依存すると考えて複雑な場合分けをしがちである。区間内の符号反転は対称分布を保つので，分布関数は常に $\Phi$ である。

検算

$c=0$ では $Y_0=X$ なので $f(0)=\operatorname{Cov}(X,X)=1$。$c\to\infty$ では $Y_c=-X$ に近づくので共分散は $-1$ に近づく。求めた式はこの直感と一致している。

方針

これは対応のある2変量データに対する符号検定の形である。$Y_i>X_i$ の回数だけを使うので，統計量は二項分布に従う。

典型ミス

(2) では対立仮説が $p>1/2$ なので，上側棄却域を取る。$T\ge6$ まで含めるとサイズが $37/256$ となり，$0.05$ を大きく超える。

検算

信頼区間の幅は $T=n/2$ で最大になる。偶数 $n$ ではこの最大値が実際に達成されるため，$1.96/\sqrt n\le0.1$ をそのまま解けばよい。