名大多元数理の過去問・解答｜2027年度第1次・両日8問の解説

第2問の解答：ユニタリ対角化と漸化式

公式問題の第2問では、実数tを含む行列Aを複素数の範囲で対角化し、その反復で定まる数列を調べます。第1・第3成分を組にすると、回転と拡大縮小として計算できます。

(1) 正規直交する固有ベクトルを列に並べる

第2成分だけのベクトルは固有値1に対応します。残りの2成分では、特性方程式は(1/2−λ)²＋t²/4＝0です。固有値と、それぞれに対応する単位固有ベクトルは次のとおりです。

例えばu₊とu₋の内積は、左側を複素共役にして(1＋(−i)(−i))/2＝0です。3本は互いに直交し、長さも1なので、これらを列に並べたUはU*U＝Iを満たします。

Au₊＝λ₊u₊、Au₀＝u₀、Au₋＝λ₋u₋を確かめれば対角化も確認できます。t＝0では固有値1/2が重複しますが、このUの3本の列は独立なままなので、同じ表示が使えます。

(2) xₙ＋izₙを計算し、実数の式へ戻す

ここからt＝tanθ、0＜θ＜π/2で、初項はx₀＝y₀＝z₀＝1です。第2成分は変わらずyₙ＝1です。第1・第3成分の漸化式を足し合わせると、次の1本の式になります。

虚部の符号は負です。初項1＋iを使ってn回繰り返し、実部と虚部を分けます。

求めるwₙ＝xₙ＋yₙ＋zₙではsinの項が消えます。虚数単位を含まない答えは

n＝0でw₀＝3、n＝1でw₁＝2となり、初項と行列を1回掛けた値にも一致します。

(3) θ₀＝π/3を選び、有限性と有界性を示す

θ₀＝π/3ならρ＝1です。cos(nπ/3)は6項ごとに繰り返すため、wₙは3、2、0、−1、0、2の繰り返しになります。

この4個以外の値を取らないので、Wは有限集合です。一方、0＜θ＜π/3ではcosθ＞1/2より0＜ρ＜1です。したがって、すべてのnについて

よってWは有界です。さらにρⁿ→0なのでwₙ→1も分かります。値の種類が有限であることと、値が一定の範囲に収まることは区別して示します。

第3問の解答：sinのべき乗積分と級数の収束

公式問題の第3問は、積分Iₙの減少性から隣り合う項を挟み、部分積分で得た漸化式と組み合わせる問題です。以下では計算のためI₀＝π/2も定めます。

(1) 被積分関数の大小を比べる

0＜x＜π/2では0＜sin x＜1なので、sinⁿ⁺¹x＜sinⁿxです。区間全体で積分すると0＜Iₙ₊₁＜Iₙとなり、数列は狭義単調減少です。端点で等号になることは、積分の厳密な不等号を妨げません。

(2) 部分積分でIₙとIₙ₊₂を結ぶ

Iₙ₊₂をsinⁿ⁺¹xとsin xの積として部分積分します。端点ではsinⁿ⁺¹x cos xが0になり、cos²x＝1−sin²xを使えます。

(3) 偶数項と奇数項の比を挟む

(1)よりI₂ₙ₊₂≤I₂ₙ₊₁≤I₂ₙで、いずれも正です。分母の大小と(2)の漸化式から

両端が1へ収束するため、I₂ₙ/I₂ₙ₊₁→1です。積分がともに0へ近づくだけでは比の極限は決まらず、この評価が必要です。

(4) 偶数項と奇数項の積から√n I₂ₙを求める

漸化式をI₀、I₁までさかのぼると、二重階乗を使って次のように書けます。二重階乗は、同じ偶奇の整数を2ずつ下げて掛けたものです。

この積に(3)の比を掛けるとI₂ₙの平方になり、極限を計算できます。

I₂ₙ＞0なので正の平方根を取り、答えは

(5) nの3/2乗に反比例する級数と比較する

(4)より、十分大きいnでは√n I₂ₙをある正定数Cで上から押さえられます。そのとき

Σn⁻³ᐟ²は指数3/2＞1の収束級数なので、比較判定法によりΣI₂ₙ/nも収束します。最初の有限個の項は収束・発散を変えません。一般項が0へ収束することだけでは、この判定の理由にはなりません。

第4問の解答：原点の連続性・全微分可能性と広義積分

公式問題の第4問の関数は、r＝√(x²＋y²)と置くと、原点以外ではf＝2r²ᵅ log r、原点ではf＝0です。角度に依存しないため、原点での極限はr→0にまとめられます。

(1) 連続となる条件はα＞0

r＝e⁻ˢと置くとr→0はs→∞に対応し、f＝−2s e⁻²ᵅˢです。α＞0では指数関数の減衰がsの増加を上回るので0に収束します。α＝0では−2s→−∞、α＜0でも−∞となり、f(0,0)＝0に近づきません。したがって、連続となる範囲はα＞0です。

(2) 全微分可能となる条件はα＞1/2

α＞1/2のとき、原点での微分を0とすれば、全微分可能性の定義に現れる誤差は次のように評価できます。

rだけの式が0へ収束するので、どの方向から原点に近づいても同じです。従って全微分可能で、微分Df(0,0)＝0です。

逆にα≤0では連続でないため全微分可能でもありません。0＜α≤1/2では、x軸上の右側からの差商が

となります。α＝1/2でも2 log hが発散し、偏微分すら存在しません。よって必要十分な範囲はα＞1/2です。偏微分が存在するという確認だけで全微分可能性を済ませず、十分性では上の誤差の極限を示します。

(3) 円環上の積分が収束する条件はα＜−1

積分領域D_Rは1≤r≤Rの円環です。原点の近くを積分しないため、ここではr→∞での減衰を調べます。極座標の面積要素r dr dθを入れ、u＝r²で置換します。

α≠−1の場合は部分積分により

α＜−1では、Rの負のべき乗とlog Rの積が0へ収束するので、極限はπ/(α＋1)²です。α＞−1では上端の項が正の無限大へ発散します。残るα＝−1は別に積分すると

以上から、有限の極限が存在するのはα＜−1の場合だけで、その値は次のとおりです。

2日目第1問の解答：実直交行列と120度の回転

公式問題の第1問では、直交行列が長さと内積を保つことを使います。最後の3次行列は、固定される1本の軸と、その軸に直交する平面に分けて考えます。

(1) 複素固有値の絶対値は1

Pを複素ベクトルにも作用させます。Pは実行列なのでP*＝Pᵀであり、直交性PᵀP＝Iから、複素ユークリッドノルムも保存します。固有値αに属する0でない複素ベクトルzを取ると

‖z‖²＞0で割れば|α|²＝1、従って|α|＝1です。複素ベクトルでは、共役を取らないzᵀzをノルムの平方として使わないようにします。

(2) 固有ベクトルの直交補空間はPで保たれる

Pv＝λvとなる実固有ベクトルvと、vに直交するwを取ります。内積の保存から

(1)よりλ＝±1で、λ≠0です。よって〈Pw,v〉＝0となり、Pwもvの直交補空間Wに属します。

(3) P³＝Iを満たす3次実行列には固有値1がある

Pの特性多項式は実係数の3次式なので、少なくとも1つ実根λを持ちます。対応する固有ベクトルにP³＝Iを作用させるとλ³＝1です。実数でこの式を満たすのはλ＝1だけなので、1はPの固有値です。

(4) 正規直交基底での表現行列をすべて求める

Pv₁＝v₁であり、(2)よりv₁の直交補空間span(v₂,v₃)も保たれます。従って、この基底での表現行列は1と2次直交行列Qに分かれます。

Q³＝I₂なので(det Q)³＝1です。det Qは実数だから1となり、Qの列の直交性と向きから、次の形に書けます。

この行列を3回掛けることは、複素数a＋ibを3乗することに対応します。P≠IだからQ≠I₂であり、a＋ibは1以外の3乗根です。

従って、現れる表現行列は次の2つです。上下の符号は対応させます。

一方の基底で得られた行列に対し、v₂とv₃を入れ替えた基底では符号が反転します。したがって2つとも実際に現れ、これ以外はありません。いずれもv₁を固定し、直交する平面を±120度回す行列です。

2日目第2問の解答：連続関数と縮小写像の不動点

公式問題の第2問は、不動点が存在することと、ただ1つであることを分けて示す問題です。閉区間では中間値の定理、実数全体の縮小写像では反復列の収束を使います。

(1) f(x)−xの両端の符号を比べる

h(x)＝f(x)−xと置くと、hは[a,b]上で連続です。fの値域が[a,b]に含まれるので、f(a)≥a、f(b)≤bです。

どちらかが0なら、その端点が不動点です。そうでなければh(a)＞0、h(b)＜0なので、中間値の定理によりh(p)＝0となるp∈(a,b)が存在します。どちらの場合もf(p)＝pです。この条件だけから不動点の一意性までは言えません。例えば恒等写像なら区間内のすべての点が不動点です。

(2a) 縮小条件から連続性を示す

0＜c＜1とし、すべてのx,yで|f(x)−f(y)|≤c|x−y|が成り立つとします。任意の点xとε＞0に対しδ＝ε/cを取れば、|x−y|＜δから

従って、fは各点xで連続です。

(2b) 反復列がCauchy列であることから存在を示す

任意のx₀∈Rからxₙ₊₁＝f(xₙ)を定め、D＝|x₁−x₀|と置きます。縮小条件を繰り返すと

これだけでは、離れた2項が近いことまで示せていません。m＞nとして、隣り合う項の差を足し、等比級数で評価します。

最後の上界はmによらず、nを大きくすれば0へ近づきます。従って数列xₙはCauchy列であり、実数の完備性からあるp∈Rへ収束します。(2a)の連続性を使うと

これで不動点の存在が示せました。次にp,qがともに不動点だと仮定すると、縮小条件から

1−c＞0なので|p−q|＝0、すなわちp＝qです。存在と一意性の両方が示されました。

2日目第3問の解答：長方形積分路による広義積分

公式問題の第3問では、α＞1として次の関数を扱います。虚軸方向へ2π/αだけ平行移動したときの関係を使い、長方形の上辺と下辺を結びます。

(1) 分母の零点と極の次数を調べる

分母が0となる点は、整数kを用いて次のように表せます。

分母の微分はzₖで−α≠0です。分子もどこでも0にならないので、これらはすべて1位の極であり、他に特異点はありません。留数は

(2) 長方形の内部には極が1個ある

Γ_Rの内部は−R＜Re z＜R、0＜Im z＜2π/αです。R＞0であれば、この中に入る極はz₀＝πi/αだけです。領域を左手に見る向きは反時計回りなので、留数定理により

(3) 縦の2辺を評価し、実軸の積分を求める

まず実軸上では、次の正の関数で上から押さえられます。α＞1なので両側の広義積分は収束します。

H＝2π/αとし、−RからRまでの実軸上の積分をI_Rと置きます。分母は虚軸方向の移動で変わらず、分子はe^iH倍になります。

上辺は右から左へ進むので、その積分は−e^iHI_Rです。右辺と左辺の積分をそれぞれV₊(R)、V₋(R)と書くと

縦の辺の長さはHです。分母に|u＋1|≥||u|−1|を用いると、辺のどの点でも同じ上界が使えます。

右側の極限にはα＞1を使っています。従って、I＝∫_−∞^∞f(x)dxとすると、(2)の結果から

0＜π/α＜πなのでsin(π/α)≠0です。分母を次のように変形して割ると、実数の答えになります。

α＞1では右辺は正です。元の被積分関数も正なので、積分路の向きや上辺の符号を逆にして負の値が出た場合は、この点からも誤りに気づけます。

2日目第4問の解答：連続写像の合成と像の稠密性

公式問題の第4問では、φ∘fとg∘φの合成する順序を区別します。C(A,B)はAからBへの連続写像全体です。φ:X→Yが連続なので、次の合成も連続写像になります。

(1a) φが単射ならφ_*は単射：真

φ∘f₁＝φ∘f₂と仮定します。各z∈Zでφ(f₁(z))＝φ(f₂(z))なので、φの単射性からf₁(z)＝f₂(z)です。すべてのzで一致し、f₁＝f₂となるため、φ_*は単射です。

(1b) φが全射ならφ^*は単射：真

g₁∘φ＝g₂∘φと仮定します。任意のy∈Yに対し、全射性からφ(x)＝yとなるx∈Xを取れます。従って

すべてのyで一致するのでg₁＝g₂であり、φ^*は単射です。

(1c) φが単射ならφ^*は全射：偽

通常の位相でX＝(0,1)、Y＝[0,1]、Z＝Rとし、φを包含写像とします。φは連続かつ単射です。X上の連続関数h(x)＝1/xを取ります。

もしh＝g∘φを満たす連続写像g:Y→Rがあれば、0＜x＜1でg(x)＝1/xです。n≥2について

gが0で連続なら左の点列に対する値は有限の実数g(0)へ収束するはずですが、nは無限大へ発散します。従ってそのようなgは存在せず、φ^*は全射ではありません。単射な包含写像でも、部分空間上の連続関数を全空間へ連続に延長できるとは限りません。

(2) 稠密な像で一致する連続写像を比べる

ZがHausdorffで、φ(X)がYで稠密だとします。g₁∘φ＝g₂∘φ、すなわちg₁とg₂がφ(X)上で一致すると仮定し、Y全体でも一致することを示します。

もしあるy∈Yでg₁(y)≠g₂(y)なら、Hausdorff性から、g₁(y)とg₂(y)をそれぞれ含む互いに交わらない開集合U,Vを取れます。連続性により

はyを含む非空の開集合です。φ(X)の稠密性からN∩φ(X)≠∅なので、φ(x)∈Nとなるxを取れます。一方でg₁(φ(x))＝g₂(φ(x))です。この共通の値がUとVの両方に入ることになり、U∩V＝∅に矛盾します。

よってそのようなyはなく、g₁＝g₂です。従ってφ^*は単射です。一般の位相空間では、稠密集合から各点へ収束する点列を選べるとは限りません。この証明では非空開集合との交わりを使うため、距離空間などの追加条件を必要としません。