東北大 理学研究科 地学専攻 専門科目 2021年度 院試 過去問 解答例・解説（全7問）

問1: 屈折波の式

臨界屈折ではスネルの法則より $$\sin\phi=\frac{V_1}{V_2}\qquad (V_2>V_1)$$ である。交差距離を $K$ とすると、直接波と屈折波の走時が等しいので $$\frac{K}{V_1} = \frac{K-2D\tan\phi}{V_2} +\frac{2D}{V_1\cos\phi}.$$ 両辺を整理すると $$K\left(\frac{1}{V_1}-\frac{1}{V_2}\right) = \frac{2D}{V_1\cos\phi}-\frac{2D\tan\phi}{V_2}.$$ $\sin\phi=V_1/V_2$ を用いると右辺は $$2D\left(\frac{1}{V_1\cos\phi}-\frac{\sin\phi}{V_1\cos\phi}\frac{V_1}{V_2}\right) = \frac{2D}{V_1\cos\phi}\left(1-\frac{V_1^2}{V_2^2}\right) = \frac{2D\cos\phi}{V_1}$$ となる。したがって $$D=\frac{K}{2}\frac{V_2-V_1}{V_2\cos\phi} = \frac{K}{2}\sqrt{\frac{V_2-V_1}{V_2+V_1}}$$ を得る。

問1: 走時曲線の読み取り

近距離側では $36\,\mathrm{km}$ で $6.0\,\mathrm{s}$、$180\,\mathrm{km}$ で $30\,\mathrm{s}$ だから $$\frac{\Delta t}{\Delta x}=\frac{30-6}{180-36}=\frac{1}{6}\ \mathrm{s/km}, \qquad V_1=6.0\,\mathrm{km/s}.$$ 遠距離側では、例えば $220\,\mathrm{km},35\,\mathrm{s}$ と $300\,\mathrm{km},45\,\mathrm{s}$ から $$\frac{\Delta t}{\Delta x}=\frac{45-35}{300-220}=\frac{1}{8}\ \mathrm{s/km}, \qquad V_2=8.0\,\mathrm{km/s}.$$ 屈折波の直線は $t=x/8+t_i$ で、$35=220/8+t_i$ より $$t_i=7.5\,\mathrm{s}.$$ 直接波 $t=x/6$ と屈折波 $t=x/8+7.5$ の交点は $$\frac{K}{6}=\frac{K}{8}+7.5,\qquad K=180\,\mathrm{km}.$$ よって、$\sqrt7=2.646$ を用いれば $$D=\frac{180}{2}\sqrt{\frac{8.0-6.0}{8.0+6.0}} =90\sqrt{\frac{1}{7}} \simeq 34\,\mathrm{km}.$$ 地震波速度から、第1層は地殻、第2層は上部マントル、速度不連続面はモホロビチッチ不連続面と考えられる。

問2: 1年間の放熱量

地球表面積を $4\pi R^2$、平均地殻熱流量を $q=8.7\times10^{-2}\,\mathrm{W/m^2}$ とすると、1年間に放出される熱は $$E=4\pi R^2 q\,\Delta t \simeq 4\pi(6.4\times10^6)^2 (8.7\times10^{-2})(3.2\times10^7) \simeq 1.4\times10^{21}\,\mathrm{J}.$$ 有効数字1桁では $$E\simeq 1\times10^{21}\,\mathrm{J}$$ である。

海洋地域の熱流量は、海洋地殻中の放射性元素だけでなく、マントルからの熱供給と海洋リソスフェアの冷却で説明する。海嶺で新しい高温の海洋プレートが生まれ、移動しながら冷えるため、海洋底全体で大きな熱流が保たれる。

太古代は現在よりマントルが高温で、粘性が低く、マントル対流が活発だったと考えられる。海嶺での海洋プレートの生成速度も大きく、プレートが十分に厚く冷える前に移動・沈み込みやすいため、平均的な海洋プレートは現在より薄かったと予想できる。