東北大 工学研究科 電気・情報系 基礎・専門科目 2025年3月 院試 過去問 解答例・解説

設問1(a)(i)　導体間の磁束密度

無限に長い直線電流の磁場は、円筒対称性とアンペールの法則 $\oint\bm B\cdot d\bm l=\mu_0I$ から導く。半径 $r$ の円周上では磁場が接線方向に一定なので、$2\pi rB=\mu_0I$、$B=\mu_0I/(2\pi r)$。向きは電流の正方向に右ねじを進めたときの回転方向である。導体の端の効果を無視し、周囲を真空とする条件を使っている。

本問では上側の電流が $+y$、点Pへの半径方向が $-z$ なので、方向は $\bm e_y\times(-\bm e_z)=-\bm e_x$。下側は電流 $-y$、半径方向 $+z$ で、やはり $-\bm e_x$ になる。マクスウェル方程式が電流と磁場に対して線形なので、二本それぞれの場をベクトルで足せる。 $$\bm B_1=-\bm e_x\frac{\mu_0I}{2\pi(d-z)},\qquad \bm B_2=-\bm e_x\frac{\mu_0I}{2\pi z}.$$ 点が導体の外側となる $a\le z\le d-a$ でこの外部場を使う。半径 $a$ の内部の場の式ではない。

中央 $z=d/2$ では $|B|=2\mu_0I/(\pi d)$。電流が逆向きという理由だけで大きさを引く誤式 $B_{\rm wrong}=\mu_0I[1/z-1/(d-z)]/(2\pi)$ は中央を0とするが、二つの外積は同じ向きなので相殺しない。また $z\mapsto d-z$ で大きさが変わらないことは配置の対称性に合う。電流だけでなく、各導体から観測点への方向まで一組にして磁場の符号を決める。

設問1(a)(ii)　往復線路の自己インダクタンス

インダクタンスは、線形な磁気系で磁束鎖交数が電流に比例するときの係数 $L=\Phi/I$ である。長い往復線路では長さ当たりの量を使い、$\Phi'$ は線路の長さ1当たりに鎖交する磁束、$L$ の単位は $\mathrm{H/m}$ となる。二本の間を張る面の幅 $dz$、長さ1の帯で磁場を積分する。導体内部の磁束を無視する条件により、積分の端は中心軸0と $d$ ではなく表面の $a,d-a$ である。

各電流の寄与を含む磁場を積分すると $$\int_a^{d-a}\left(\frac1z+\frac1{d-z}\right)dz =\left[\ln z-\ln(d-z)\right]_a^{d-a} =2\ln\frac{d-a}{a}.$$ 従って $\Phi'/I$ が答えになる。$d\gg a$ の細線近似では $\ln[(d-a)/a]=\ln(d/a)+\ln(1-a/d)$、後者が $-a/d+O((a/d)^2)$ と小さいので指定の近似式へ移る。対数の中は無次元の長さ比であり、$\mu_0$ の単位 $\mathrm{H/m}$ が結果の単位を与える。

往路と復路を別々に数えて最後にもう2倍する誤りは、磁場の和で既に両方を含めたことを落としている。例えば $d/a=10$ なら正しくは $(\mu_0/\pi)\ln9$、誤式はその2倍となる。逆に一方の磁場だけを積分すると半分になる。$a\to0$ で対数発散するのは、理想的な細線の近傍で磁場が強くなるためであり、積分区間から導体内部を除いても半径の尺度は残る。実導体の内部磁束を加える別モデルとは区別する。

設問1(b)(i)　導体間の電界

無限の線電荷の電界は、長さ $\ell$、半径 $r$ のガウス円筒に $\oint\bm E\cdot d\bm S=Q_{\rm enc}/\varepsilon_0$ を使って導く。円筒の側面では電界が法線方向に一定で、端面を貫かないため、$E(2\pi r\ell)=\lambda\ell/\varepsilon_0$。従って大きさは $|\lambda|/(2\pi\varepsilon_0r)$、正電荷から離れ、負電荷へ向かう。

上の正電荷から点Pへは $-z$、下の負電荷へも $-z$ なので二つを同方向へ加える。これは磁場の右ねじの方向とは別の、電荷の符号に基づく向きである。 $$E_{1z}=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0(d-z)},\qquad E_{2z}=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0z}.$$ $\lambda$ の単位 $\mathrm{C/m}$ を用いれば電界は $\mathrm{V/m}$ となる。ここでは細い二導体の外部を中心軸の線電荷へ置く近似を使い、金属内部の電界へこの式を延長しない。

中央での大きさは $2\lambda/(\pi\varepsilon_0d)$、$z\mapsto d-z$ で不変となり対称性に合う。異符号の電荷だからと二つの大きさを引く誤式は中央を0とし、正電荷から負電荷へ流れる力線を表せない。また距離を二つとも $z$ とする誤りは $\lambda/(\pi\varepsilon_0z)$ となり、点を中央から動かすと対称性を失う。符号付きの電界を導体ごとに作り、観測点までの距離を対応させてから重ねる。

設問1(b)(ii)　二本の導体間の静電容量

二導体系の静電容量は $C_{12}=Q_1/(V_1-V_2)$ と定義し、電荷が $+Q_1,-Q_1$ の組である条件を使う。線路では長さ当たりの電荷 $\lambda$ を使うので、容量の単位は $\mathrm{F/m}$。電位の定義 $dV=-\bm E\cdot d\bm l$ から、負の $z$ を向く電界では上へ進むほど電位が増える。 $$V_1-V_2=-\int_{z=a}^{d-a}E_z,dz =\frac{\lambda}{\pi\varepsilon_0}\ln\frac{d-a}{a}>0.$$ 正電荷側の電位が高いことと符号が一致する。電荷に比例した電位差の式を $\lambda$ で割れば答えとなる。導体間隔が大きいほど同じ電荷の電位差は増え、容量は小さくなる。線電荷近似のままなら、設問1(a)(ii)の $L$ と掛けて $LC_{12}=\mu_0\varepsilon_0$、伝搬速度 $1/\sqrt{LC_{12}}$ は真空の光速となり、電磁気の係数の整合も確かめられる。

二本の電荷の絶対値を足した誤定義 $C_{\rm wrong}=2\lambda/(V_1-V_2)$ は正答の2倍であり、$LC$ も $2\mu_0\varepsilon_0$ になる。容量の電荷は片側である。平行平板の式 $\varepsilon_0A/d$ をそのまま円柱線路に用いる誤りも、非一様な電界の対数依存を落とす。例えば $d/a=10$ の対数は $\ln9$、$d/a=100$ は $\ln99$ であり、容量は単純な $1/d$ では変わらない。形状の違いは電界の積分から扱う。

設問2(a)　接地平板に向かう電気力線

鏡像法は、導体を取り除いた仮想の電荷配置で同じ境界電位を満たす解を作る方法である。電荷のない領域では電位はラプラス方程式を満たし、境界電位を指定した解の一意性から、仮想配置の場が実際の領域の場と一致する。実線電荷 $+\lambda$ を $z=h$、鏡像 $-\lambda$ を $z=-h$ に置くと、$z=0$ の各点で両者までの距離が等しい。 $$V(x,z)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0} \ln\frac{\sqrt{x^2+(z+h)^2}}{\sqrt{x^2+(z-h)^2}}, \qquad V(x,0)=0.$$ 従って上半空間の接地平板の境界条件を満たす。鏡像は平板内部の実電荷ではなく、上半空間の計算だけに使う補助的な配置である。

電気力線は各点の $\bm E=-\nabla V$ に接する曲線で、向きは正電荷から負電荷側へ取る。平板表面は等電位なので接線微分が0、接線電界も0となり、力線は平板へ垂直に入る。左右の $x$ を反転しても電位が同じなので図も左右対称である。線電荷近似の曲線は円柱表面の極近くでの厳密な形を表すのでなく、$h\gg a$ の外部の模式線として描いている。

鏡像の符号を同じ $+\lambda$ にする誤りでは、平板上の接線電界が加算され、接地等電位を満たさない。例えば $x=h,z=0$ の点では、正負の正しい鏡像なら $E_x=0$、同符号の誤像なら $E_x=\lambda/(2\pi\varepsilon_0h)$ となる。力線を平板へ斜めに入れる図も同じ境界条件を破る。図の向きと電位の式を両方から確認する。

設問2(b)　接地平板との静電容量

対地容量は、導体の電荷を接地面から測った導体電位で割る $C_3=\lambda/V_3$ である。正負の線電荷の電位差は、線電荷の電界 $E_r=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ を積分して得る対数で表せる。任意の基準距離の定数は正負の二電位を足すと消え、$V=\lambda\ln(r_-/r_+)/(2\pi\varepsilon_0)$ となる。

$h\gg a$ の導体表面では実電荷までの距離は $a$、鏡像までの距離は $2h$ と近似できる。従って $$V_3\simeq\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{2h}{a},\qquad C_3\simeq\frac{2\pi\varepsilon_0}{\ln(2h/a)}.$$ 鏡像側の導体は電位 $-V_3$ なので、実導体と鏡像との二導体間電位差は $2V_3$。その二導体間容量 $\lambda/(2V_3)$ に対して対地容量は2倍となる。接地面が電位差を半分に分けることが係数2の理由である。

$h$ が増すと同じ電荷の電位は増え、対地容量は下がる。単位は $\varepsilon_0$ の $\mathrm{F/m}$ で、対数の中は無次元となる。鏡像までを $h$ と取り違える誤式 $2\pi\varepsilon_0/\ln(h/a)$ は、例えば $h/a=10$ で正答より $\ln20/\ln10\simeq1.301$ 倍大きい。二導体間の式の係数だけを流用した $\pi\varepsilon_0/\ln(2h/a)$ は正答の半分になる。本問の導体表面の近似と、どの二点の電位差を使うかを同時に保つ。

設問2(c)　追加導体の条件による違い

複数導体系では、一つの容量だけでなく電荷と電位の線形関係 $V_i=\sum_jP_{ij}\lambda_j$ をまず使う。$P_{ij}$ は電位係数で、電位の重ね合わせから得られる。本問の細線近似では自己係数が $\ell/(2\pi\varepsilon_0)$、相互係数が $b/(2\pi\varepsilon_0)$。$b$ は他方の実電荷と鏡像までの距離比の対数なので、$b=\ln[(2\sqrt2h)/(2h)]=\ln\sqrt2$ である。

「中性・孤立」は $\lambda_4=0$、「接地」は $V_4=0$、「接続して同電位」は $V_4=V_3$ という別の条件である。接地なら第2行から $\lambda_4=-b\lambda_3/\ell$ と誘導され、$V_3=(\ell-b^2/\ell)\lambda_3/(2\pi\varepsilon_0)$。同電位なら二行の差 $(\ell-b)(\lambda_3-\lambda_4)=0$ より、近似が成り立つ $\ell>b$ で電荷が等しくなる。条件を式にして代入すれば三つの値が分かれる。

例えば $h/a=10$ なら $\ell=\ln20,b=\ln\sqrt2$。元の $C_3=2\pi\varepsilon_0/\ell$ を基準にすると、中性の主項は1、接地は $1/[1-(b/\ell)^2]\simeq1.0136$、同電位の一本分は $\ell/(\ell+b)\simeq0.8963$。追加導体は必ず容量を2倍にするという誤りは、この三条件のどれにも一般には合わない。同電位の二本全体の電荷を分子にすれば最後の値を2倍にするが、それは容量の定義自体が異なる。

中性導体の分極は中心の線電荷の主項だけでは表せず、細い半径に依存する補正がある。従って中性の値が厳密に不変という主張はしていない。原題に電位・電荷・接続の指定がない以上、一つの条件を黙って選ばず、この条件別の答えと近似の範囲を明記する。

設問1(b)　線路上の電圧と電流

$\cosh0=1$、$\sinh0=0$ なので、$x=0$ で端子値へ戻る。電流式の電圧の係数は $1/Z_c$、電圧式の電流の係数は $Z_c$ となり、各項の次元もそろう。

設問2　整合した線路の入力インピーダンス

この性質は線路の長さによらない。反射波がないため、伝搬で掛かる同じ因子が電圧と電流の比で消える。

設問3(b)　反射係数と電圧定在波比

反射係数は複素数だが、定在波比にはその絶対値を入れる。$\Gamma$ 自体を比の式に代入すると、振幅の最大・最小の比であるはずの値が複素数になる。ここでは抵抗成分が $Z_c$ と同じ50 $\Omega$ でも、負荷に $j100\,\Omega$ が残るため整合しない。

定在波比は約5.83であり、電圧の最小値は0ではない。短絡のように $|\Gamma|=1$ の場合だけ、二つの波が完全に打ち消す点が生じる。

設問3(c)　短絡端に最も近い電圧の腹

これは受電端から電源側へ測った距離で、波長 $2\pi/\beta$ の4分の1である。短絡端 $x=0$ は電圧の節であり、最初の腹はその隣にある。

設問4　異なる線路との接続点

接続先は整合しているため、その長さや伝搬定数 $\gamma_1$ は入口のインピーダンスへ影響しない。求めるのは電圧の透過係数であり、電流の比なら $1-\Gamma$ になる。

設問1(b)　2変数関数の最小積和形

集合 $\{0,2\}$ は連続した数でなくてもよい。$X_2$ がそのどちらかなら1を返すため、二つの値を同じリテラルにまとめられる。

設問2(b)　3変数関数の最小積和形

各積項が表すのは、各座標の許された値の直積である。このため、二つの入力をまとめるときは、その二点以外に増える入力も調べる必要がある。3点を別々の項へ割り当てざるを得ないことを示せば、作った式より少ない2項の解をすべて排除できる。

最初の群と最後の群は $(1,0,2)$ で重なるが、論理和なので重複は問題にならない。重なりを避けるために項を分け直す必要はなく、本問で最小にするのは積項の個数である。

設問2　二乗を使う累乗計算

偶数の段でも、再帰の前に $\operatorname{op}(m,m)$ が1回呼ばれる。再帰呼出しの個数だけを見ず、この引数を作る乗算も数える。

設問3　呼出し回数の上下限

奇数から1を引く段だけに帰納仮定を使うと、上限の前に余分な1が残る。奇数と次の偶数の二段を合わせ、$B_{2r+1}=2+B_r$ として半分の引数まで進めると、対数の上限へつながる。

証明で半分の引数へ帰るため、基底は2と3を両方確認した。この結果は $\operatorname{op}$ の呼出し回数についての評価である。整数の大きさに制限がないことから、1回の整数演算に掛かる時間まで一定だとは結論しない。

設問4　二つの再帰関数の一致

第1引数を一つの $m$ に固定した帰納仮定では、偶数分岐の $g(\operatorname{op}(m,m),r)$ に適用できない。$n$ ごとにすべての $m$ で成立すると仮定することで、この変更を扱える。演算の結合律や交換律を別に仮定する必要はない。

設問2(a)　粒子数がNの自由エネルギー

本問では $Z_N=(Z_1)^N$ が指定されている。この式に別の粒子数因子を追加せず、自由エネルギーを一粒子の値の $N$ 倍として求める。

設問2(b)　エントロピー・内部エネルギーと概形

$E_A>0$ では $U_N/(NE_A)$ は上側の準位を占める確率 $p_2$ そのものである。低温ではこの占有が指数的に小さく、高温では二状態が同じ確率へ近づくため、内部エネルギーは $NE_A/2$ へ近づく。

横軸は $E_A/(k_BT)$ でなく、その逆数である。右側の枝は温度を上げると右へ進み、エネルギーも増える。微分すると $u'(\theta)=e^{1/\theta}/[\theta^2(1+e^{1/\theta})^2]>0$ となり、曲線の増減を確認できる。

設問2(c)　定積熱容量

占有確率を用いれば $C_N=Nk_Bx^2p_1p_2$ とも書け、非負であることが分かる。$E_A\ne0$ では、低温で上側の準位がほぼ空になるため熱容量も0へ近づく。高温では占有がほぼ半分ずつとなり、$C_N\sim NE_A^2/(4k_BT^2)$ と減少する。$E_A=0$ なら準位間のエネルギー差がないので、すべての温度で $C_N=0$ である。

設問1(b)　無限等比級数

有限和の式から残りの誤差を $z^{N+1}/(1-z)$ と書けるので、複素数でも絶対値で0への収束を示せる。実数の大小関係を $z$ 自体に適用する必要はない。

設問1(c)　係数がn+1の級数

たとえば $z^2$ は $1\cdot z^2$、$z\cdot z$、$z^2\cdot1$ の3組から現れる。この数え方をすべての次数に適用したのが係数 $n+1$ であり、級数の項の並べ替えは絶対収束によって正当化される。

設問1(d)　テイラー展開の3次まで

3次の係数には、次数の組 $(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)$ の四つが寄与する。片方の3次だけを読むのではなく、合計の次数が3になる積をすべて集める。

設問2(b)　転置との積

転置は共役転置ではないため、ここで出るのは $a^2+b^2+c^2+d^2$ である。各積の符号が対になって消えることを確認すれば、16成分を個別に長く計算せずに済む。

設問2(c)　行列式

前問から行列式を取ると $(\det A)^2=s^4$ までは分かるが、それだけで平方根の符号を選ぶことはできない。余因子を使った計算なら符号まで直接決まり、$s$ で割らないため $s=0$ の場合も含めて成り立つ。