京大 理学研究科 数学・数理解析専攻 基礎科目 2025年度 院試 解答例・解説

方針

積分領域と内積の形が回転に関して不変なので，$x$ の向きを固定して大きさだけを残す。 この一手で二変数積分が単純な極座標積分になる。

典型ミス

分母に $\rho$ が現れるが，面積要素も $\rho\,d\rho d\theta$ であるため原点で特異性は残らない。 絶対値 $|\cos\theta|$ を落とすと角度積分が誤るので，対称性で第1象限に直してから計算する。

採点の置き所

(1) では，任意の直交変換で領域，内積，ノルム，測度がすべて不変であることを一つずつ書くと満点答案になる。 (2) では，$x$ を $(r,0)$ に回転してよい根拠が (1) であることを明示する。 最後の角度積分は $$1+\cos\theta=2\cos^2\frac{\theta}{2}$$ を使うと，端点で発散しないことも同時に確認できる。

方針

まず特性多項式で固有値と代数的重複度を確定し，その後で階数により幾何的重複度を調べる。 重根がある固有値 $0$ だけは，$\alpha$ の特殊値で固有空間の次元が変わる可能性がある。

検算

$\alpha=0$ では零固有空間が明らかに2次元になる。一般の $\alpha$ でも固有値は変わらないが， 固有空間の次元は変わり得る。この区別を書かないと答案として不十分である。

採点の置き所

この問題は，固有値の列挙だけでは半分程度で止まりやすい。重複固有値 $0$ について， $$\dim E_0=3-\operatorname{rank}A(\alpha)$$ を用いて $\alpha=0$ と $\alpha\neq0$ を分けるところが主要な得点源である。 固有値 $1$ についても階数が常に $2$ であることを一言で済ませず，消えない $2$ 次小行列式を確認する形にすると答案が安定する。

方針

対角化可能性は「固有値差で成分ごとに計算できる基底を取れる」という意味で使う。 交換子 $AB-BA$ は，対角基底では各成分に $\lambda_i-\lambda_j$ を掛ける操作になる。

試験でのポイント

$AX=XA$ は $X$ が $A$ と可換であることを意味する。これにより，固有値の異なる成分は $X$ では消える。 一方，固有値の等しい成分は最初から交換子で消えている。二つの場合を分ければ全成分が消える。

採点の置き所

対角化可能性を使う場所は，$A$ を対角行列にしてよい点である。相似変換で $A$ を置き換えても， 交換子 $AB-BA$ が零かどうかは保存されるので，基底を変えてから成分計算してよい。 $$x_{ij}=(\lambda_i-\lambda_j)b_{ij}$$ と $$0=(\lambda_i-\lambda_j)x_{ij}$$ の二式を並べると，固有値が等しい場合と異なる場合の両方が自然に処理できる。

方針

広義積分は特異点ごとに条件を出す。原点は $\sin x$ の零点の次数，無限遠は振動による条件付き収束を見る。

典型ミス

無限遠で絶対収束だけを見ると $\alpha>1$ としてしまうが，問題は通常の収束である。 正弦の振動により $0<\alpha\leq1$ でも条件付き収束する。

採点の置き所

原点と無限遠を独立に調べ，最後に条件を交差させる構成にする。 原点側では $\sin x\sim x$ から $$\frac{\sin^5x}{x^\alpha}\sim x^{5-\alpha}$$ と書き，指数が $-1$ より大きい条件を出す。 無限遠側では，Dirichlet判定法を使うために $\sin^5x$ を有限個の正弦波の線形結合へ直すか， 有界な原始関数を持つ振動項であることを明示する。

方針

$\log x$ を含む積分では，まず基本積分 $I(c)$ に落とす。 $x=ct$ の変換により $\log c$ と $\log t$ が分かれ，奇対称性に対応する置換 $t\mapsto1/t$ で $\log t$ の寄与が消える。

符号の確認

$a>b$ なので部分分数の係数は $1/(a^2-b^2)$ である。 $I(b)-I(a)$ の順番を逆にしないことが，符号を合わせるための要点である。

採点の置き所

$I(c)$ を導入した後，$x=ct$ の変換で $$I(c)=\frac{\log c}{c}\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2} +\frac1c\int_0^\infty\frac{\log t}{1+t^2}\,dt$$ まで分けて書くとよい。後半の積分が $0$ である理由は，置換 $t=1/u$ により自分自身の負になるからである。 この一行がないと，標準積分を丸暗記した答案に見えてしまう。

方針

縦切片が連結で，射影が区間全体であることを使う。分離があれば，各縦切片は一方の成分に丸ごと入るため， 射影側の区間 $[0,1]$ が分離されてしまう。

固定点部分の考え方

$K_x$ を区間 $[a(x),b(x)]$ と見れば，求めることは $a(x)\leq x\leq b(x)$ となる点の存在である。 存在しないと仮定すると，グラフ全体が対角線の上側または下側に分かれ，端点 $0,1$ の事情から区間の分離が起こる。

採点の置き所

(1) は，射影 $p(K)=[0,1]$ とファイバーの連結性を使う問題である。$p$ が閉写像であることは， $K$ がコンパクトで $[0,1]$ がハウスドルフであることから従う，と書けば十分である。 (2) では，$U,V$ が開であることを列や閉性で確認する部分が省かれやすい。 ここを書かないと「二つに分かれる」という直感だけの答案になるため，部分列を取る議論を入れる。

方針

閉円板上の連続関数なので最大値・最小値は存在する。候補は内部臨界点と境界臨界点に限られる。 境界では円周制約を入れてラグランジュ未定乗数法を使う。

検算

内部の最小候補 $-1$ よりも，境界点 $(0,-\sqrt2)$ の値 $-2\sqrt2/3$ の方が小さい。 境界の確認を省くと最小値を取り違える。

採点の置き所

閉円板上なので，候補点を有限個まで絞った後に値を比較する，という流れを明確にする。 内部では $f_x=f_y=0$，境界ではラグランジュ条件と $x^2+y^2=2$ を同時に解く。 境界計算で出た点のうち，制約を満たすものだけを残し，最後に表の形で値を比較すると取りこぼしを防げる。