京大 理学研究科 数学・数理解析専攻 基礎科目 2022年度 院試 解答例・解説

方針

角度 $\theta=0$ 付近で $1-\cos\theta$ が小さくなるため，単に分母を $r^2$ 程度とみなすと誤る。 角度積分を先に正確に計算するのが安全である。

検算

$u=1-\cos\theta$ の置換により角度方向の特異性が $1/(1+r)$ という因子にまとまる。 その結果，半径方向の実効次数は $r^{1-2a}$ であり，条件は $a>1$ となる。

採点の置き所

半径方向だけを先に粗く評価すると，$\theta=0$ 付近の寄与を失う。 角度積分を $$\int_0^1(1+ru)^{-2}\,du=\frac1{1+r}$$ まで厳密に計算することがこの問題の核心である。 最後は $p$ 型積分の条件として，$\int^\infty r^{1-2a}\,dr$ が収束する条件を出す。

方針

基底ではないが一次独立な $v_i$ が与えられているので，$v_i$ 方向の係数だけを見ればよい。 四つの $w_i$ を列ベクトルとして並べ，(1) は行列式，(2) は行列式が消える特殊値での階数を計算する。

典型ミス

行列式が $0$ になる値で，生成次元がすべて同じとは限らない。 $a=0$ では階数がさらに落ちるため，$a=-1$ と分けて確認する必要がある。

採点の置き所

$v_1,\ldots,v_4$ が一次独立であるため，係数行列の列の一次独立性だけを調べればよい。 この還元を書かないと，元のベクトル空間の次元や基底性を余計に仮定した答案に見える。 $$\det M(a)=a^2(a+1)$$ で特殊値を拾い，その特殊値で階数を直接計算して生成次元に読み替える。

方針

有限アーベル群は素数ごとの成分に分けると数えやすい。 条件 $G=K+H$ も $2$-部分と $3$-部分で独立に判定できる。

検算

位数公式 $$|K+H|=\frac{|K||H|}{|K\cap H|}$$ を使うと，$2$-部分では交わりが自明である必要があることが分かる。 この条件が，候補の位数4部分群をふるい分ける基準である。

採点の置き所

素因数分解により，$2$-primary 部分と $3$-primary 部分を独立に数える。 $3$-部分は2次元ベクトル空間の1次元部分空間の数え上げであり，$H_3$ と異なる3本を選ぶ。 $2$-部分では位数4部分群を具体的に列挙し，$H_2$ と交わらないものだけを残す。 最後に独立な選択なので積を取る。

方針

連続性と無限遠での発散を示せば，最小値の存在は閉区間上の最大最小定理に帰着する。 絶対値の中身が複雑でも，$||u|-|v||\leq|u-v|$ と三角不等式で十分である。

試験でのポイント

具体的な最小点を求める必要はない。存在を示す問題なので，連続性と coercive 性を明確に書くことが重要である。

採点の置き所

連続性は絶対値関数の Lipschitz 性 $$\bigl||u|-|v|\bigr|\le |u-v|$$ からすぐ出る。無限遠での発散は $$f(x)\ge |x|-\int_0^\infty |t\sin t|e^{-t}\,dt$$ という下からの評価で示す。 この二つが揃えば，十分大きな閉区間に最小化を制限し，閉区間上の連続関数の定理を使える。

方針

$x^3/(x^2+1)^2$ を分解し，既知のフーリエ積分をパラメータ微分する。 留数計算で公式を導いてもよいが，答案では標準公式からの微分が最短である。

検算

被積分関数は偶関数なので全体の積分が零になることはない。 分解後の二つの正の寄与の差として $\pi/(2e)$ が残る。

採点の置き所

偶奇性の確認では，$x^3\sin x$ が偶関数であることを明記する。 標準公式をパラメータ $b$ で微分する場合，微分後の符号に注意する。 $$\frac{d}{db}\cos bx=-x\sin bx$$ なので，左辺の微分と求める正の積分の間にマイナスが入る。

方針

コンパクト性は球面の閉部分集合として示す。滑らかさは二つの制約関数の勾配が独立であることを確認し， 正則値定理を使う。

典型ミス

球面との交わりだから自動的に多様体，とは言えない。二つ目の制約と接する可能性を排除するため， 勾配の一次独立性を必ず確認する。

採点の置き所

コンパクト性は，$X$ が単位球面の閉部分集合であることから従う。 正則性では，$\nabla F_1$ と $\nabla F_2$ が従属と仮定し，各成分が $0$ または同じ定数 $\mu$ に限られることを導く。 そのうえで $F_2=0$ と $F_1=0$ が同時には満たせないことを示せば，正則値定理を適用できる。