京大 理学研究科 数学・数理解析専攻 基礎科目 2023年度 院試 解答例・解説

方針

積分領域も被積分関数も同じ二次形式だけで決まっているので，二次形式を標準形に直す。 線形変換後は半径だけの球殻積分になる。

検算

領域では $q\leq1$ なので $\log q\leq0$ である。答えも $3\log2-7<0$ で負になり，符号が合っている。

採点の置き所

平方完成で $$q=x^2+(y-z)^2+3z^2$$ まで変形できるかが第一の山である。次に，$w=\sqrt3z$ としたときのヤコビアンが $1/\sqrt3$ になることを明示する。 球殻の内半径は $1/2$，外半径は $1$ であり，ここを $\frac14,1$ のまま半径と誤読しない。

方針

共通核は「両方の方程式を同時に満たす解空間」なので，行列を縦に結合して一つの線形方程式として扱う。 和の次元は次元公式で求める。

典型ミス

$A$ と $B$ の核を別々にパラメータ表示してから交差を取ると計算が長くなる。 縦結合行列の行列式を先に見ると，特殊値 $a=2$ だけを処理すればよい。

採点の置き所

共通核の次元は，縦結合行列の階数から $$\dim(\ker f\cap\ker g)=4-\operatorname{rank}M$$ で求める。$a=2$ のときは行列式が消えるだけでなく，階数が実際に $3$ であることを確認する。 最後の和の次元は次元公式を使うため，$\dim\ker f=\dim\ker g=2$ も答案内に残す。

方針

可換性により，$T$ は $S$ の固有空間分解を壊さない。 相異なる固有値に属する成分を比較すれば，$u_1$ 成分だけを取り出せる。

試験でのポイント

「対角化可能で可換なら同時対角化可能」と言ってもよいが，ここでは必要な部分だけを示す方が短い。 $S$ 固有空間が $T$ 不変であることを明記すれば十分である。

採点の置き所

相異なる $S$ 固有値に属する成分は，固有空間の直和分解により一意に比較できる。 したがって $Tv=\alpha v$ を各 $S$ 固有空間へ射影して，$Tu_1=\alpha u_1$ を得る部分が核心である。 そこへ別途与えられた $Tu_1=\beta u_1$ を合わせれば，$u_1\neq0$ から $\alpha=\beta$ と結論できる。

方針

$n/x$ が指数の中にあるため，$t=n/x$ と置くのが自然である。 この変換で外側の係数 $n$ と $dx/x^2$ がちょうど打ち消し合い，標準的な指数核 $e^{-t}$ が現れる。

検算

極限で使われるのは $x\to\infty$ における $f(x)\to1$ であり，$x=1$ 近傍の値ではない。 変数変換後に $f(n/t)$ が出ることを確認すると，この点が明確になる。

採点の置き所

積分区間が $[1,\infty)$ であるため，$t=n/x$ によって区間が $[n,0]$ へ反転する。 符号を含めて $$\frac{dx}{x^2}=-\frac{dt}{n}$$ を正しく処理すると，外側の $n$ が消える。 支配収束定理では，積分上限 $n$ を $\infty$ まで延ばしても $Ce^{-t}$ で支配できるよう，指示関数を含めて考えると厳密である。

方針

右辺が $\sqrt{x_m}$ に比例するので，未知関数そのものではなく $\sqrt{x_m}$ を解く。 すると明示解が得られ，一様収束は係数の積分の一様収束に帰着する。

典型ミス

各固定 $t$ の極限だけでは問題の要求に足りない。積分の明示式 $$\frac1{1+1/m}-\frac1{1+t+1/m}$$ を使うと，$t\in[0,\infty)$ 全体で一様に評価できる。

採点の置き所

$x_m(t)$ の正値性は，$\sqrt{x_m(t)}$ へ変数変換する前に確認しておく。 初期値が正であり，明示式の右辺も正なので計算は正当化される。 一様収束は $$\sup_{t\ge0}\left| \frac1{1+1/m}-\frac1{1+t+1/m} -\frac{t}{1+t} \right|\to0$$ を示せばよく，単なる各点収束で終わらせない。

方針

正則値定理を二回使う。まず曲面 $X$ は $F=0$ の正則レベル集合として見る。 水平断面では $z=r$ を代入し，平面内のレベル集合 $x^4+y^4=c$ を調べる。

端点の注意

$r=-1$ では非空ではあるが一点集合であり，1次元多様体ではない。 「非空」と「1次元正則レベル集合」を同時に満たすには $1+r^3>0$ が必要である。

採点の置き所

(1) は $\nabla F$ が $X$ 上で消えないことを示すだけでよい。 (2) では，水平面を固定して平面内の曲線 $$x^4+y^4=1+r^3$$ として見る。右辺が正なら平面内の正則レベル集合，右辺が零なら一点，負なら空集合である。 この三場合を分けると，条件 $r>-1$ が自然に出る。