京大 理学研究科 数学・数理解析専攻 基礎科目 2020年度 院試 解答例・解説

方針

領域が球の第1八分体であり，被積分関数が $xyz$ なので球座標が自然である。 角度範囲を第1象限に制限するだけで，積分は三つの1変数積分に分離する。

検算

被積分関数は領域上非負なので答えも正である。半径方向は $r^5$ まで上がる点に注意する。

採点の置き所

球座標では $xyz$ から $r^3$，ヤコビアンからさらに $r^2\sin\varphi$ が出るため， 半径方向は $r^5$ になる。角度範囲は第1八分球なのでどちらも $0$ から $\pi/2$ までである。 三つの積分に分離した後，各因子を丁寧に計算すれば部分点を取りこぼさない。

方針

特性多項式はきれいに一次因子へ分解する。重複が起こる $a=0,2$ だけは， 代数的重複度と固有空間の次元が一致するとは限らないので別途階数を見る。

典型ミス

固有値を $0,a,2$ と書いただけでは，$a=0,2$ の固有空間次元の情報が落ちる。 重根のときこそ，固有空間の次元確認が必要である。

採点の置き所

特性多項式を因数分解した後，$a$ の値によって固有値の重なり方を分ける。 $a\neq0,2$ なら相異なる3固有値なので各固有空間は1次元である。 $a=0,2$ では代数的重複度が2になる固有値について，実際の核の次元を階数計算で確認する。

方針

$g$ は $f$ の右逆である。したがって $gf$ は $V$ 上の射影になり， その核と像が求める直和分解を与える。

検算

$v-gf(v)$ は $f$ で消え，$gf(v)$ は明らかに $\operatorname{Im}g$ に入る。 この分解式を最初に書けるかどうかが勝負である。

採点の置き所

$f\circ g=\operatorname{id}_W$ から $gf$ は $V$ 上の射影である。 射影の像が $\operatorname{Im}g$，核が $\ker f$ になることを分解式で確認する。 交わりが零であることは，$u=g(w)$ かつ $f(u)=0$ と置いて $w=f(g(w))=0$ と戻すと短い。

方針

非負性は単調減少性と積分の収束から強制される。あとは，単調性で区間上の積分を $xf(x)$ の上界にする。 (1) は尾部で負の定数以下になる矛盾，(2) は原点側と無限遠側で区間を分けて評価する。

典型ミス

可積分だから点wiseに $f(x)\to0$ とだけ言っても，$xf(x)\to0$ は出ない。 単調性を使って短い区間の面積と比較するのが必要である。

採点の置き所

非負性の証明では，もしどこかで負なら単調減少性により以後ずっと負の定数以下になり，積分が収束しないと示す。 原点側は $[0,x]$，無限遠側は $[x/2,x]$ の区間で面積比較を行う。 どちらも単調性から $f(x)$ を下から押さえる向きが正しいかを確認する。

方針

$x^\alpha$ は $x^{s-1}$ 型として見る。分母が $1+x^2$ なので，ベータ関数・留数計算の標準公式に直接乗る。

検算

$0<\alpha<1$ では $\cos(\pi\alpha/2)>0$ なので答えは正である。 また $\alpha\to0$ で $\pi/2$ に近づき，$\int_0^\infty(1+x^2)^{-1}dx$ と一致する。

採点の置き所

標準公式を使う場合でも，適用条件 $0<s<q$ を確認する。 ここでは $s=\alpha+1$，$q=2$ なので，$0<\alpha<1$ から確かに $1<s<2$ である。 最後に $$\sin\left(\frac{\pi(\alpha+1)}2\right)=\cos\frac{\pi\alpha}{2}$$ へ直すと，答えの形が簡潔になる。

方針

$X$ は球面上の直交する2フレーム全体である。コンパクト性は閉部分集合として， 滑らかさは内積関数の正則レベル集合として示す。

試験でのポイント

正則値であることを示すには，微分がゼロでない方向を一つ見つければよい。 $u\perp v$ のため $v$ は $u$ における接ベクトルとして使える。

採点の置き所

まず $S^2\times S^2$ がコンパクトで，$X$ がその閉部分集合であることを書く。 多様体性では，制約関数 $F(u,v)=u\cdot v$ を $S^2\times S^2$ 上で考える。 点 $(u,v)\in X$ に対し，$(\xi,\eta)=(v,0)$ が接ベクトルとして許されるのは $u\perp v$ だからであり， この方向で微分値が $1$ になるため正則性が分かる。

方針

右端リーマン和の誤差の一次項を求める問題である。 各小区間で右端値と関数値との差を $f'$ で近似すると，三角形の面積として $1/(2n^2)$ が出る。

検算

$f(x)=x$ とすると左辺は $$\frac1n(1+\cdots+n)-\frac n2=\frac12$$ であり，公式の $(f(1)-f(0))/2=1/2$ と一致する。

採点の置き所

各小区間での誤差を積分として書き直し，右端からの距離 $$\frac{k}{n}-x$$ の平均が $1/(2n)$ であることを見る。 $f'$ の一様連続性により，$f'(\xi_{k,x})$ を $f'(k/n)$ に置き換えた総誤差が $o(1)$ になる。 最後は $f'$ のリーマン和が $\int_0^1 f'=f(1)-f(0)$ に収束することを使う。