神戸大 理学研究科 数学専攻 数学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

積分で定義された線形写像であるが，$V$ が有限次元なので，まず基底の像を求めて行列に直すのが最短である。行列が三角形になるため，固有値と反復計算がそのまま読める。

計算上の注意

$x^{-1}\int_0^x$ という形は $x=0$ で一見特異に見えるが，ここでは積分結果が $x$ で割り切れる。したがって $V$ の多項式として扱ってよい。

反復の見方

$I^n$ を直接計算すると係数が煩雑になる。固有ベクトル $$x^2-6x+\frac{15}{2},\qquad x-2,\qquad 1$$ に分解すれば，$I^n$ はそれぞれに $(1/3)^n,(1/2)^n,1$ を掛けるだけでよい。入試答案では，分解式を一行示してから結論を書くと採点者に意図が伝わりやすい。

方針

前半は準同型の基本性質と部分群判定で処理する。後半の本質は，グラフ部分群の正規性が第2成分の共役を強く制限する点にある。

正規性から得る情報

正規性では，$(a,b)$ による共役後もグラフの形を保つことを使う。第1成分が $axa^{-1}$ になるので，第2成分は必ず $$f(axa^{-1})$$ でなければならない。この制約に $a=e$ を代入すると，$G$ の任意の元 $b$ が $f(G)$ の全元と可換であることが分かる。ここで全射性が効く。

落とし穴

「グラフが正規なら $G$ はアーベル」とだけ書くと不十分である。共役計算で $$bf(x)b^{-1}=f(a)f(x)f(a)^{-1}$$ を明示し，さらに全射性によって $f(x)$ が $G$ 全体を動くことを述べる必要がある。

方針

極値問題では，指数因子が常に正なので偏微分の零点は多項式部分から決まる。一様連続性は有界な導関数によるリプシッツ評価で処理できる。二重積分は平方根の形からベータ積分 $$\int_0^1 s^{-1/2}(1-s)^{-1/2}\,ds=\pi$$ に帰着させる。

極値判定の要点

$(0,0)$ は臨界点だが極値ではない。実際，$xy$ の符号が近傍で変わるので，指数因子を掛けても正負が入れ替わる。ヘッセ行列で鞍点と判定しても，同じ結論になる。

積分の検算

$x$ 積分の値が $y$ に依存しないことが計算の核心である。置換後に $(1-y)$ が分子と分母で相殺されるため，残るのは標準的な $\pi$ の積分だけである。

方針

この問題は定義を正確に書くことが最重要である。証明はいずれも定義を一度展開すれば終わるが，逆像，補集合，開被覆のどれを使うかを間違えないようにする。

一点集合が閉である理由

閉集合性は補集合が開であることに直す。$y\ne x$ ごとに，$y$ を含み $x$ を含まない開集合を作り，それらをすべて合わせると $X\setminus\{x\}$ になる。開集合の任意和は開なので結論が出る。

コンパクト性の注意

有限部分被覆は $A$ 用と $B$ 用で別々に選んでよい。有限集合二つの和集合は有限であるため，最後に合わせれば $A\cup B$ の有限部分被覆になる。

方針

前半は「体のイデアルは二つだけ」という事実から単射性を出す。後半は分解体を明示し，平方根や三乗根を添加するたびの次数を確認する。

三次式側の注意

$\sqrt[3]{25}$ を使っても $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{25})=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5})$ である。実際 $\alpha=\sqrt[3]{25}$ なら $$\sqrt[3]{5}=\frac{\alpha^2}{5}$$ である。実三次体には非実数 $\zeta_3$ は入らないので，最後に二次拡大が必要になる。

四次式側の注意

$7+3\sqrt7$ が $\mathbb{Q}(\sqrt7)$ の平方かどうかを確認しないと次数を過小評価しやすい。また片方の平方根は非実数であり，実体に含まれないことから最後の次数 $2$ が分かる。

方針

$b\ne0$ では $x$ がイデアルに入るため，商環はほぼ一変数になる。$b=0$ では主イデアル $(x^2+ay^2)$ の既約性を見る。場合分けの境界である $a=0$ と $b=0$ を丁寧に分けることが重要である。

図示の内容

$ab$ 平面では，正の $a$ 軸上の点 $(a,0)$，$a>0$ と，原点を除く $b$ 軸上の点 $(0,b)$，$b\ne0$ が答である。原点は $(x^2)$ になるため含まれない。

落とし穴

$a>0$ のとき $x^2+ay^2$ は複素数係数では分解するが，ここでの係数体は $\mathbb{R}$ である。実係数一次式には分解しないため，$\mathbb{R}[x,y]$ では既約として扱う。

方針

$A$ はトーラスそのものなので標準結果を使う。$X$ はトーラスに円板を一枚貼った空間であり，貼り付け円がどの基本ループを消すかを読むのが核心である。

貼り付け円の確認

$B$ の境界は半径 $1$ の円で，$A$ では小円の内側点 $u=\pi$ を固定して $v$ を一周させる曲線である。したがって $v$ 方向のループが円板で埋められ，基本群ではその生成元が $1$ になる。

検算

$X$ は直感的には $S^2\vee S^1$ と同じホモロジーを持つ。したがって $H_1$ と $H_2$ がどちらも $\mathbb{Z}$ になるという結果は自然である。

方針

直交座標であることに加えて，$f_{uv}$ が法線方向を持たないという仮定が，第二基本形式の非対角成分を消す。そこから Weingarten 写像が対角化され，座標曲線が曲率線になる。

非対角成分の消し方

重要なのは $$(f_u\cdot N)_v=0,\qquad (f_v\cdot N)_u=0$$ を使うこと。ここで $f_{uv}\cdot N=0$ が入るため，$f_u\cdot N_v$ と $f_v\cdot N_u$ が消える。

恒等式の意味

最後の式は，主曲率 $k_1,k_2$ が満たす二次方程式 $$\lambda^2-2H\lambda+K=0$$ を基本形式の行列に反映したものである。対角化された座標で計算すれば，各成分がこの二次式そのものになる。