神戸大 理学研究科 数学専攻 数学 2021年度 院試 解答例・解説

方針

微分で閉じていることを確認し、次に基底性を示してから行列表示へ進む。基底であることを確認しないまま行列を書き始めると、表現行列としての根拠が不足する。

一次独立性の見せ方

$\sin x,\cos x,x\sin x,x\cos x$ は見た目から独立に見えるが、答案では恒等式にして $x=0$ での値と導関数を使うのが短い。$h(0),h'(0),h''(0),h'''(0)$ の4本で係数がすべて決まるため、試験答案としても明確である。

固有値の検算

行列は対角ブロックが同じ $J$ のブロック上三角行列である。上右の $I_2$ は固有多項式には影響せず、固有多項式は $(\lambda^2+1)^2$ になる。ここで行列式を直接展開するより、ブロック構造を見る方が計算ミスを減らせる。

方針

この問題は、共役類・中心化群・類等式を順に組み立てる標準問題である。前半で得た $|[a]|=[G:N(a)]$ が、最後の $p^2$ 位数の議論につながっている。

典型ミス

$N(a)$ は一般には正規部分群とは限らない。したがって $G/N(a)$ を商群として扱うのではなく、「剰余類の集合の元の個数」として読むのが安全である。必要なのは群構造ではなく指数 $[G:N(a)]$ である。

試験で書くべきポイント

最後の可換性では「位数 $p^2$ の群は可換」とだけ書くと説明不足になりやすい。中心が非自明であること、中心の位数が $p$ の場合には $G/Z(G)$ が巡回群になること、巡回商から可換性が出ること、の3点を書くと減点されにくい。

方針

第1問は円柱領域と $x^2+y^2$ の形から極座標が自然である。第2問は収束性だけなので、上から $x^{-\alpha}$ で押さえる比較判定法が最短である。第3問は臨界点をすべて出した後、ヘッセ行列で分類する。

極値の検算

関数は $$f(x,y)=(x+\sin y)^2-2\sin^2y$$ とも書ける。したがって $f(x,y)\ge -2$ であり、等号は $x=-\sin y,\ \sin^2y=1$ のときに成り立つ。これは上で得た極小点と一致しており、極大点がないことの直観的な確認にもなる。

典型ミス

$f_y=0$ から $\cos y=0$ だけを拾ってしまうと、$\sin y=0$ の鞍点を見落とす。臨界点の列挙では、まず $f_x=0$ から $x=-\sin y$ を確定し、その後に $f_y=0$ を処理するのが安全である。

方針

集合論と位相の基本性質を、定義から丁寧に確認する問題である。特に (1) は「像は共通部分を保つか」という問いで、包含関係と等号を混同しないことが重要である。

典型ミス

$A\cap B=\varnothing$ なら $f(A)\cap f(B)=\varnothing$ と考えてしまうのは、$f$ が単射である場合の直観を一般の写像に持ち込んだミスである。異なる点が同じ値に写ると、互いに素な集合の像が交わることがある。

3点分離の書き方

ハウスドルフ性は2点分離の条件である。3点を同時に分離するには、各ペアごとに開近傍を取り、同じ点に属する近傍を最後に交差させる。この「ペアごとに取って最後に共通部分を取る」手順を書けば、有限個の点への拡張も自然に理解できる。

方針

点 $(a,b)$ での評価準同型を使うと、$(x-a,y-b)$ の商が $k$ になることがすぐ分かる。第2問も同じ評価の考え方で処理できる。

第3問の要点

極大イデアルは素イデアルであるため、$xy$ が入っていれば $x$ または $y$ が入る。この一手で候補が4つに絞られる。ここでいきなり $k$ が代数閉体であるかのように点を列挙する必要はない。

典型ミス

標数 $2$ では $1=-1$ である。したがって4つの表示のうち重複が生じる。体 $k$ を任意に取る設定なので、この点に一言触れておくと答案として丁寧である。

方針

$\alpha=\beta+\omega$ だけを見ると $\beta$ と $\omega$ を分離しにくいが、$\alpha^3$ を計算すると $\beta\omega$ が現れる。そこから $L\subset F$、さらに $\omega\in F$ を示すのがこの問題の入口である。

次数の検算

$F$ は $x^3-5$ の分解体である。既約三次式に1の原始3乗根を加えた典型的な分解体なので、次数は $3\cdot2=6$ になる。この確認により、後半の $F/L$ が2次、$F/M$ が3次という構造も見通しやすくなる。

典型ミス

$L=\mathbb Q(\sqrt[3]{5}\omega)$ は $x^3-5$ の非実根を1つ含むが、分解体ではない。したがって $L/\mathbb Q$ を Galois としてはいけない。三次方程式の根を1つ含むことと、全ての根を含むことは別である。

方針

前半は第一基本量と第二基本量を正確に計算する問題である。後半は平行曲面の標準公式で、形作用素の主曲率が $k_i/(1-tk_i)$ に変わることを示せば一気に整理できる。

符号について

平均曲率と符号付き測地曲率は単位法線の向きに依存する。本解答では $f_u\times f_v$ の向きで法線を取った。逆向きの法線を選ぶと $H$ や符号付き測地曲率の符号は変わるが、ガウス曲率は変わらない。

典型ミス

法曲率を求めるとき、曲線パラメータ $x$ が弧長とは限らない点に注意する。第二基本量の値をそのまま答えるのではなく、必ず $|\gamma'|^2$ で割る必要がある。

方針

与えられた写像は、各点を原点から見た同じ半直線上で単位球面まで動かす写像である。つまり $X$ を $X\cap S^2$ へ押し縮めている。座標軸を除いた条件は、正のスカラー倍で保たれる。

空間の見取り図

座標軸は単位球面と6点で交わる。したがって $X$ のホモトピー型は「球面から6点を除いた空間」である。球面から1点を除いて平面に移すと、残りは平面から5点を除いた空間になる。

典型ミス

$\mathbb R^3$ から3本の直線を除いた空間を、そのまま3つの円の補空間として扱うと基本群のランクを誤りやすい。ここでは与えられた写像が具体的な変形レトラクションを表しているので、まず単位球面上の6点除去へ落とすのが最も確実である。