東工大 理学院 数学系 数学コース 修士課程 数学 2024年度 院試 解答例・解説

方針

この型の行列は $I_n$ と $J$ の一次結合に直すのが最短である。 $J$ は $\mathbf{1}$ 方向では固有値 $n$，和が $0$ の超平面では固有値 $0$ をもつため，固有値計算がほぼ終わる。

最小多項式の確認

対角化可能性を別途仮定する必要はない。空間が $$\mathbb{R}^n=\mathbb{R}\mathbf{1}\oplus W$$ と固有空間の直和に分かれており，二つの固有値が $a\neq 0$ により相異なるからである。 この点を書かずに固有多項式だけから最小多項式を結論すると，重根の場合の議論が不足する。

典型ミス

$a=1$ と $a=-1/(n-1)$ だけが階数低下の例外である。 この二つを同時に満たすことは $n\geq 2$ ではないので，場合分けは重ならない。

方針

この問題の核は，双対空間 $M_n(\mathbb{R})^*$ と $M_n(\mathbb{R})$ を跡ペアリングで同一視することである。 行列単位で非退化性を一度確認しておくと，後半の交換子条件も一行の計算に落ちる。

交換子の見方

$\operatorname{Tr}(AB)=\operatorname{Tr}(BA)$ なので，交換子は必ず跡 $0$ である。 逆向きに「跡 $0$ の行列は交換子で生成される」ことを直接示してもよいが，ここでは双対空間から余次元を計算する方が答案として短く安定する。

試験で書くべき点

「すべての行列と可換ならスカラー行列」という事実は，標準行列単位 $E_{ij}$ と可換であることから対角成分がすべて等しく，非対角成分が消える，と一言補うと安全である。

方針

前半は「グラフは定義域のコピーである」という同相写像を明示する。 後半は，コンパクト性から射影が閉写像になることと，ハウスドルフ性から連続写像のグラフが閉になることを組み合わせる。

コンパクト性の使いどころ

射影が閉写像になる証明では，$\{x_0\}\times Y$ のまわりに作った局所的な積近傍を有限個に落とす必要がある。 ここが $Y$ のコンパクト性を使う唯一の本質的な箇所である。

典型ミス

グラフが閉なら連続，という命題は一般には成り立たない。 この問題では $Y$ がコンパクトハウスドルフであるため，閉集合 $C\subset Y$ の逆像を射影で表し，閉写像性を使える。

方針

前半は AM-GM による比較で十分である。逆向きの反例は，大きい項と小さい項を交互に置き，隣り合う積だけを小さくするのが自然である。

連続性の確認

連続性は各点収束だけでは足りない。有界区間ごとに $n^{-(\alpha+\beta)}$ 型の収束級数で抑えることで，局所一様収束から連続性を出す。

典型ミス

広義積分では，まず一つ一つの $\int_0^\infty (x+n)^{-\beta}\,dx$ が有限でなければならない。 そのため $\alpha+\beta>2$ だけでなく $\beta>1$ が独立に必要である。

方針

半直線はコンパクトでないので，有限区間と無限遠側を分ける。 無限遠では極限に近いことを使い，有限区間では通常の Heine-Cantor の定理を使う。

二問目の直観

一様連続性があると，ある点で $f$ が非常に大きければ，その近くの短い区間全体で $f$ は同じ程度に大きい。 するとその区間の積分が大きくなり，原始関数の有界性に反する。

典型ミス

単なる連続性だけでは「大きな値が幅をもつ」とは言えない。 ここでは $\varepsilon=1$ に対する一様連続性の $\delta$ が全域で共通に取れることが決定的である。

方針

$\mathbb{Z}_{(p)}$ は $p$ 以外の素因子を分母に許す局所環であり，$p$ はまだ単元ではない。 したがって $R[X]$ で $pX-1$ を割ると，商環の中で $p$ が可逆になり，$\mathbb{Q}$ が現れる。

PID でないことの要点

$(p,X)$ は局所化整数環上の多項式環で最も標準的な非単項イデアルである。 「$p$ と $X$ が共通因子を持たない」とだけ書くより，仮に単項としたとき生成元が定数になり，さらに単元になってしまうことまで書くと答案として強い。

二次拡大の作り方

$p^2X^2-q$ を使う理由は，商環内で $p$ を逆元つきにするためである。 単に $X^2-q$ とすると商環は $R[\sqrt q]$ にとどまり，一般には体ではない。 ここでは関係式 $p^2X^2=q$ から $p^{-1}=(p/q)X^2$ が得られる点が決定的である。

ガロア群の見方

根は $\zeta^i\alpha\ (i=0,\ldots,4)$ である。 $\sigma$ は 5 個の根を巡回させ，$\tau$ は 1 の 5 乗根の Galois 作用を表す。 関係式 $\tau\sigma\tau^{-1}=\sigma^2$ は，$\tau$ が $\zeta$ を $\zeta^2$ に送ることの翻訳である。

第2問の分類原理

$L\otimes_{\mathbb{Q}}A\simeq L^5$ は，$A$ が $L$ で完全に分裂する有限エタール代数であることを意味する。 有限エタール代数は，分解体上の原始冪等元の集合に Galois 群がどう作用するかで決まる。 したがって「5 点の $G$-集合の軌道分解」を調べればよい。

典型ミス

5 次だからといって体だけを探すと，直積代数を落としてしまう。 また 2 次因子は任意の二次体ではなく，$L$ に含まれる二次部分体，すなわち $\mathbb{Q}(\sqrt5)$ だけである。

方針

対蹠写像の引き戻し $f^*$ は二乗が恒等写像なので，固有値 $+1$ と $-1$ の部分に射影できる。 この射影が $$\frac12(1+f^*),\qquad \frac12(1-f^*)$$ である。

射影空間に降りる形式

$\mathbb{RP}^n$ は $S^n$ を対蹠写像で割った空間である。 そのため $\mathbb{RP}^n$ 上の形式は，$S^n$ 上では対蹠写像で不変な形式として見える。 答案では「不変形式は商に降りる」という事実を明記するとよい。

完全性の作り直し

$S^n$ 上で $\pi^*\omega=d\beta$ と書けても，その $\beta$ が $+$ 型とは限らない。 そこで $\beta$ の $+$ 成分を取り直す。この一手を書かないと，原始形式が $\mathbb{RP}^n$ に降りることが保証されない。

方針

$X$ を三つの $S^2$ の和集合として直接扱うより，$x_4$ 方向に見て「グラフの懸垂」と捉えるのが最も整理しやすい。 赤道断面のグラフ $Y$ は 6 頂点 12 辺の連結グラフなので，1 次 Betti 数は $12-6+1=7$ である。

懸垂の効果

懸垂を取ると，既約ホモロジーの次数が一つ上がる。 そのため $Y$ の $H_1$ が $X$ の $H_2$ になる。 一方，両極を除くと単に $Y\times(-1,1)$ になり，$H_1$ がそのまま残る。

同相不変量としての一点補空間

極を一つ除いた空間は開錐なので可縮である。 非極点を除いた場合は，赤道グラフにまだ閉路が残り，その懸垂が 2 サイクルを与える。 この差は同相写像で保たれるため，極の集合 $\{p_N,p_S\}$ は位相的に特徴付けられる。

方針

前半二つは標準定理の証明である。 偏角原理は $f'/f$ の留数を数える定理，導関数の収束は Cauchy の積分公式から従う評価である。

Hurwitz の使い方

極限が単射でないとき，$f(a)=f(b)$ となる二点を取る。 $f_n(z)-f_n(a)$ は $a$ にしか零点を持たないが，極限 $f(z)-f(a)$ は $b$ に零点を持つ。 Hurwitz の定理により近くに $f_n(z)-f_n(a)$ の零点が現れるので，単射性と矛盾する。

典型ミス

Hurwitz の定理は極限関数が恒等的に $0$ の場合にはそのまま使えない。 その例外が，結論の「または定数」に対応している。

方針

例外集合 $E_n$ の測度が $0$ に近づくので，その外での $L^1$ 収束は全体での測度収束を与える。 測度収束から a.e. 収束部分列を抜くのは，Borel--Cantelli を使う定番手順である。

$L^2$ 有界性の役割

全体の $L^1$ 収束で問題になるのは $E_n$ 上の積分だけである。 $f_n$ については Cauchy--Schwarz により $$\int_{E_n}|f_n|\leq L(E_n)^{1/2}\|f_n\|_2$$ と抑える。ここで $L^2$ 有界性が効く。

典型ミス

$L(E_n)\to0$ だけでは $\int_{E_n}|f_n|\to0$ は言えない。 関数列 $f_n$ が $E_n$ 上で大きく集中する可能性があるためである。 追加条件はその集中を排除するために必要である。

方針

切断核 $\Phi_n$ は対角線近くの特異性を消しているため，連続核の積分作用素になる。 連続核の積分作用素は，単位球の像が一様有界かつ同程度連続になるので Arzela--Ascoli によりコンパクトである。

特異性の強さ

核 $|x-y|^{-1}$ は $2$ 次元では可積分である。 極座標で $$\int_{|z|<r}|z|^{-1}\,dz=2\pi r$$ となるため，対角線近くの寄与は $r\to0$ で消える。

典型ミス

点ごとの収束 $T_nf(x)\to Tf(x)$ だけではコンパクト性は従わない。 ここでは作用素ノルムで $T_n\to T$ を示すことが重要である。

方針

積分条件は，微分作用素 $$h\mapsto h''+h'+h$$ の形式的随伴 $$u\mapsto u''-u'+u$$ を見る問題である。端点で $h,h'$ が消えるため，通常の部分積分では端点境界項が残らない。

第3問のジャンプ条件

右辺 $h(0)$ は，分布的には $0$ にデルタ関数があることを意味する。 そのため $u$ 自身は連続だが，導関数に $$u'(0+)-u'(0-)=1$$ というジャンプが出る。 符号を間違えやすいので，内部境界項を明示して確認するのが安全である。

試験で書くべき点

第3問では左側の初期条件 $u(-1)=u'(-1)=0$ から，左側の解が恒等的に $0$ であることをまず決める。 その後，ジャンプ条件から右側の初期値 $u(0)=0,\ u'(0)=1$ を得れば，第2問の結果をそのまま使える。