東大 情報理工学系研究科 知能機械情報学専攻 知能機械情報学 2018年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

問1：リンクの運動方程式

リンク角を $\theta$、関節トルクを $\tau$ とする。運動エネルギーと位置エネルギーは $$T=\frac{1}{2}I\dot\theta^2,\qquad U=mgr(1-\cos\theta)$$ とおける。ラグランジュ方程式より $$I\ddot\theta+mgr\sin\theta=\tau.$$

減速比 $1:n$ を $$\theta_m=n\theta,\qquad \tau=n\tau_m$$ と定義する。したがって $$\theta=\frac{\theta_m}{n},\qquad \dot\theta=\frac{\dot\theta_m}{n},\qquad \ddot\theta=\frac{\ddot\theta_m}{n}.$$ これをリンクの運動方程式に代入すると $$\frac{I}{n}\ddot\theta_m +mgr\sin\frac{\theta_m}{n} = n\tau_m.$$ モータ側トルクで見ると $$\frac{I}{n^2}\ddot\theta_m +\frac{mgr}{n}\sin\frac{\theta_m}{n} = \tau_m.$$ 従って、リンクの慣性モーメントはモータ側には $I/n^2$ として反映される。 減速比 $n$ が大きいほど、モータから見た負荷慣性は小さくなる。

問2：DCモータ

トルク定数を $K_t$、逆起電力定数を $K_e$、電機子抵抗を $R_a$ とする。 電機子電流を $i$ とすれば $$\tau_m=K_t i.$$ また $$e=K_e\dot\theta_m=K_en\dot\theta.$$ インダクタンスを無視した等価回路では $$u=R_ai+e.$$ よって $$i=\frac{u-K_en\dot\theta}{R_a}.$$ リンクに作用するトルクは $$\tau=nK_t i = \frac{nK_t}{R_a}u - \frac{n^2K_tK_e}{R_a}\dot\theta.$$

問3：水平配置での状態方程式と制御性

重力項を除くと $$I\ddot\theta = \frac{nK_t}{R_a}u - \frac{n^2K_tK_e}{R_a}\dot\theta.$$ 状態を $$x=\begin{bmatrix}\theta\\ \dot\theta\end{bmatrix}$$ とすると $$\dot x = \begin{bmatrix} 0&1\\ 0&-\dfrac{n^2K_tK_e}{IR_a} \end{bmatrix}x + \begin{bmatrix} 0\\ \dfrac{nK_t}{IR_a} \end{bmatrix}u.$$ 可制御性行列は $$\mathcal C= \begin{bmatrix} 0&\dfrac{nK_t}{IR_a}\\ \dfrac{nK_t}{IR_a}& -\dfrac{n^3K_t^2K_e}{I^2R_a^2} \end{bmatrix}$$ であり、 $$\det\mathcal C = -\left(\frac{nK_t}{IR_a}\right)^2.$$ $nK_t\ne0$ ならランクは2であり、可制御である。

位置フィードバック $u=-K\theta$ を考えると、特性方程式は $$s^2+ \frac{n^2K_tK_e}{IR_a}s + \frac{nK_tK}{IR_a}=0$$ となる。$K$ を大きくすると定数項が増え、固有振動数が上がるため振動的になりやすい。 一方、減速比 $n$ を大きくすると速度項の係数が $n^2$ で増えるため、 電気的な粘性減衰が強くなり、振動が抑えられやすい。