都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2022年度 冬季 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

方針

3つの小問は「像 $\to$ 固有値 $\to$ 対角化」と一本につながっている。鍵は $\boldsymbol a_1,\boldsymbol a_2,\boldsymbol a_3$ がすべて平面 $x+y-z=0$ に乗ること、言い換えれば行ベクトル $(1,1,-1)$ が $(1,1,-1)A=\boldsymbol 0$ を満たすことである。ここから $\operatorname{im}f=W$、$W$ は $A$ で不変、$\mathbb{C}^3/W$ 上の誘導写像は $0$、という構造が出て、固有多項式が $\lambda$ と $2\times2$ 行列の固有多項式の積に分解する。$3\times3$ の行列式を $a$ について展開する必要がなくなる。

別解（固有多項式を直接計算する）

$3$ 次の場合の公式 $$\Phi_A(\lambda)=\lambda^3-(\operatorname{tr}A)\lambda^2+(\text{$2$次の主小行列式の和})\lambda-\det A$$ を使ってもよい。$\operatorname{tr}A=(a-2)+(-a+5)+(-9)=-6$、$2$次の主小行列式は $(1,2)$ 成分の組から $18a$、$(1,3)$ の組から $-9a+18$、$(2,3)$ の組から $-9a-9$ で、和は $9$ になる。また $\operatorname{rank}A=2$ より $\det A=0$。したがって $$\Phi_A(\lambda)=\lambda^3+6\lambda^2+9\lambda=\lambda(\lambda+3)^2$$ となり、本解と一致する。$a$ を含む項が主小行列式の和で相殺されることが、そのまま検算になっている。

検算

$a=0$ とすると $B=\begin{pmatrix}-2&-1\\1&-4\end{pmatrix}$ で、$\operatorname{tr}B=-6$、$\det B=8+1=9$ となり一般の計算と合う。このとき $B+3E_2=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ の階数は $1$ なので固有空間は1次元にとどまり、$a=0$ では対角化できない。$a=-1$ でだけ階数が $0$ に落ちる、という結論と整合する。

失点しやすい点

(1) の「$a$ に依らない」は、部分空間として一致するという意味である。列ベクトル自身は $a$ に依存するので、「像のベクトルが $a$ を含まない」と書くと誤りになる。示すべきことは $\operatorname{im}f\subseteq W$ と $\dim\operatorname{im}f\ge2$ の2つで、包含だけでは像が $W$ の真部分空間である可能性を排除できない。(3) では、固有多項式が $\lambda(\lambda+3)^2$ と重根をもつことだけからは対角化可能とも不可能とも言えない。$\dim\ker(A+3E_3)$ を計算し、それが $2$ になる条件として $a=-1$ を出す論理を書く必要がある。

この設問が試していること

基底を取り替えて行列を扱いやすい形にする力である。像 $W$ とその補空間に合わせた基底を選ぶだけで、媒介変数つきの $3\times3$ 固有多項式の展開が $2\times2$ のトレースと行列式の計算に落ちる。答が $a$ に依らない理由も、この構造から見える。

別解（行列式を使わない）

核を直接調べてもよい。 $$\ker F_t=\{f\in V \mid f(1)=f(2)=f(t)=0\}.$$ $t\notin\{1,2\}$ なら $1,2,t$ は相異なる3点であり、$f\in\ker F_t$ は $2$ 次以下でありながら相異なる $3$ 個の根をもつので $f=0$ である。よって $F_t$ は単射で、$\dim V=\dim\mathbb{R}^3$ より同型になる。逆に $t=1$ または $t=2$ のときは、$f(x)=(x-1)(x-2)\in V$ が $f\ne0$ かつ $f(1)=f(2)=f(t)=0$ を満たすので $\ker F_t\ne\{0\}$ となり、同型でない。$t=1$ と $t=2$ のどちらでも同じ多項式が反例になる点が面白い。

行列式の意味

$M_t$ は節点 $1,2,t$ のヴァンデルモンド行列で、一般に節点 $x_1,x_2,x_3$ に対して $$\det\begin{pmatrix}1&x_1&x_1^2\\1&x_2&x_2^2\\1&x_3&x_3^2\end{pmatrix}=\prod_{i<j}(x_j-x_i)$$ である。ここでは $(2-1)(t-1)(t-2)=(t-1)(t-2)$ となり、上の計算と一致する。行列式が測っているのは「節点が相異なるかどうか」であり、その背後にあるのは、$2$ 次以下の多項式は相異なる $3$ 点での値によって一意に決まるというラグランジュ補間の事実である。$F_t$ が同型であるとは、任意の値の組 ${}^t(c_1,c_2,c_3)$ に対して補間多項式がただ一つ存在することにほかならない。

検算

$t=0$ とすると公式は $(0-1)(0-2)=2$ を与える。一方 $$M_0=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&4\\1&0&0\end{pmatrix}$$ を第3行で展開すると $1\cdot(1\cdot4-1\cdot2)=2$ で一致する。$t=1$ では $M_t$ の第1行と第3行が、$t=2$ では第2行と第3行が一致するので、いずれも行列式は $0$ になる。この2つの退化が、3つの節点のうち2つが重なる状況に対応している。

失点しやすい点

(1) を「値の代入は明らかに線形」で済ませない。加法性とスカラー倍の保存の2条件を、成分ごとの等式として書く。$f+g$ や $cf$ が再び $V$ の元であること（次数が上がらないこと）にも一言触れておくとよい。(2) は「基底の像を列に並べる」規約を守る。行に並べると転置した行列になり、行列式は同じでも $F_t$ の作用とは合わなくなる。(3) は行列式の計算だけでは説明として弱い。$\dim V=\dim\mathbb{R}^3=3$ を書いてはじめて「正則 $\iff$ 同型」が使えるので、この一文を落とさない。

この設問が試していること

抽象ベクトル空間と数ベクトル空間を表現行列で結ぶ操作である。$V$ は多項式の空間だが、基底 $1,x,x^2$ を固定した瞬間に $\mathbb{R}^3$ と同一視でき、写像に関する問いはすべて行列の問いに翻訳される。翻訳の規約（列に像を並べる）と、翻訳後に使える定理（正則性と同型の同値）を正確に運用できるかが問われている。

(1) の要点

コーシー列を示すのに「隣接項の差が $0$ に収束する」だけでは足りず、差の和が抑えられる必要がある。ここでは差が等比数列 $r^k$ で押さえられているので、尾部の和 $\sum_{k\ge n}r^k=r^n/(1-r)$ が $n$ とともに $0$ に近づく。本質は、この上界が $m$ を含まないことである。答案では「$m$ に依らない上界を作る $\to$ それが $\varepsilon$ 未満になるよう $N$ をとる」という順に書くと、論理の飛びがなくなる。

(2) の作り方

$\mathbb{R}$ は完備なので「コーシー列 $\iff$ 収束列」である。したがって、隣接項の差が $0$ に収束しながら収束しない数列、つまり発散する数列を作ればよい。$\sqrt n$ のほか $\log n$ や調和級数の部分和 $\sum_{k\le n}1/k$ が定番である。調和和を使うなら $$|a_{2n}-a_n|=\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac12$$ となるので、$\varepsilon=1/2$ でただちにコーシー列でないことが言える。いずれの例でも、「差が $0$ に収束すること」と「コーシー列でないこと」の両方を式で示さなければ答案として完結しない。

(3) が (4) で果たす役割

(4) の各項は $n$ と $x$ の両方を含むが、$s=nx$ とまとめると $s^3e^{-s}/n^2$ となり、$x$ への依存が $s$ に押し込められて $n$ 依存は $1/n^2$ だけになる。(3) はその $s$ についての一様な上界を与えるためにある。$(3/e)^3$ という具体的な値そのものは重要ではなく、「$n$ にも $x$ にも依らない定数で抑えられる」ことが効いている。

失点しやすい点

(4) で $e^{-nx}\le1$ と粗く抑えると $u_n(x)\le nx^3$ となり、$x$ について有界でないので優級数にならない。また (3) を $x$ にそのまま当てて、$n\ge1$ より $e^{-nx}\le e^{-x}$ を使い $$nx^3e^{-nx}\le nx^3e^{-x}\le n\left(\frac{3}{e}\right)^3$$ としてしまうと、上界が $n$ に比例して $\sum M_n$ が発散する。$s=nx$ と置いてから (3) を使うことが要点である。各点収束を確かめただけで一様収束と書くのも典型的な誤りで、$x$ に依らない上界を明示する必要がある。

検算

$u_n$ の最大値は $x=3/n$ でとり、値は $(3/e)^3/n^2\approx1.34/n^2$ である。$n=1$ では $\max u_1=27e^{-3}\approx1.34$、$n=2$ ではおよそ $0.34$、$n=3$ ではおよそ $0.15$ と減っていく。ピークの位置 $x=3/n$ が原点に近づきながら高さが $n^{-2}$ の速さで下がるので、区間全体で一様に小さくなるという結論と矛盾しない。なお $x=0$ ではすべての項が $0$ なので、端点で困ることもない。

方針

(1) と (2) は独立した問いではなく、(2) の $\theta$ 積分が (1) そのものになる。したがって、(2) を極座標に直して $r$ 積分を先に実行し、残った $\theta$ 積分に (1) を代入する、という流れが出題の意図である。(2) から逆算して (1) の形を眺めると、$1+4n^2\cos^2\theta$ が $1+(2n\cos\theta)^2$、すなわち「境界までの距離の $2$ 乗を $1$ に足したもの」であることが読み取れる。

(1) の置換の扱い

$u=\tan\theta$ は開区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ で狭義単調増加、値域は $\mathbb{R}$ 全体なので、置換した後の積分は $(-\infty,\infty)$ 上の広義積分になる。もとの積分は有界な連続関数の有限区間上の積分であって広義積分ではなく、広義になるのは置換の結果である点に注意する。被積分関数が偶関数であることを使い、$2\int_0^{\pi/2}$ としてから $u=\tan\theta$ で $\int_0^{\infty}$ に直しても、$\frac2c\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{c}$ で同じ結果になる。

別解（極限だけを求める）

(2) は極限のみを問うているので、閉じた式を経由しない道もある。$x>0$ ならば $n\ge(x^2+y^2)/(2x)$ で $(x,y)\in D_n$ となり、また $D_n\subseteq D_{n'}$ $(n\le n')$ なので、$D_n$ は増大列で $$\bigcup_{n>0}D_n=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0\}$$ である。被積分関数は正だから単調収束定理が使えて $$\lim_{n\to\infty}J_n =\iint_{x>0}\frac{dx\,dy}{(1+x^2+y^2)^2} =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\infty}\frac{r\,dr}{(1+r^2)^2}\,d\theta =\pi\cdot\frac12=\frac{\pi}{2}$$ となる。本解で得た閉じた式の極限と一致しており、答の確認に使える。

検算

$n\to0+$ とすると $D_n$ は原点に潰れるが、閉じた式も $\frac{\pi}{2}(1-1/\sqrt{1})=0$ を与える。また (1) の値は $n\to0+$ で $\pi$ に近づき、これは被積分関数が $1$ に近づくことと積分区間の長さ $\pi$ から見て正しい。大きい $n$ では $1/\sqrt{1+4n^2}\approx1/(2n)$ なので $$J_n\approx\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{1}{2n}\right)$$ であり、半平面での値 $\pi/2$ に $1/n$ の速さで近づく。$J_n$ が $n$ について単調増加であることも、$D_n$ が増大列であることと整合する。

失点しやすい点

極座標で $\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで動かすと、$\cos\theta<0$ の範囲で上限 $2n\cos\theta$ が負になり、そのまま計算すると誤る。$D_n$ は原点を通る円板なので、原点から見える方向は右半平面に限られる、と図で確認しておく。ヤコビアン $r$ を落とすと内側の積分が $\arctan$ 型になり、(1) と噛み合わなくなるので、そこでも気づける。平方完成 $(x-n)^2+y^2\le n^2$ を書かずに進めると、領域の形そのものを取り違えやすい。

この設問が試していること

「領域を極座標で書き直す」「置換で初等的な積分に落とす」という2つの標準操作である。誘導が明確なので、(1) の結果を (2) にそのまま差し込めると気づけば計算量は多くない。逆に、極座標の $\theta$ の範囲や原点を通る円の扱いを普段から意識していないと、方針は立っても値が合わない。