都立大 理学研究科 数理科学専攻 数学 2022年度 夏季 院試 過去問 解答例・解説（全13問）

方針

像の一致は「包含」と「次元の一致」に分けて処理するのが定石である。像の次元が3で全体が4次元だから，$\operatorname{im}f$ は1本の1次方程式で書ける。この超平面の法ベクトルを ${}^{\mathsf T}\!A\,\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}$ から先に求めておくと，(3) は $\boldsymbol{w}$ と $B$ の各列の内積を計算するだけの問題になり，$B$ の階数を $a$ の場合分けで追う必要がなくなる。

別の進め方

$\boldsymbol{w}$ を使わずに，$\boldsymbol{b}_3$ を (1) で得た基底 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{a}_4$ の1次結合で表す連立方程式を立てても答えは出る。ただし未知数が3つ増えるうえ，$a$ を含む式の整理が煩雑になる。超平面の方程式を1本作る方が計算量は明らかに小さい。

検算

$\boldsymbol{w}=(9,5,8,4)^{\mathsf T}$ が $A$ の4本の列すべてと直交することを確かめる。たとえば第3列では $-9-15+40-16=0$。また $a=-3$ のとき $1-a=4\neq0$ なので $\operatorname{rank}B=3$ であり，(2) の結論と矛盾しないことも確認しておく。

失点しやすい点

(3) で $a=1$ を答に含めてしまう誤りが多い。$a=1$ のときは確かに $\operatorname{im}g\subset\operatorname{im}f$ だが $\operatorname{rank}B=2$ なので次元が足りず，一致しない。「包含が言えたら次元も確認する」という手順を答案に明記しておくと，この落とし穴を踏んだことが採点者に伝わらない。基底を答えるときは，簡約形の列ではなく元の行列 $A$ の列を書くことにも注意する。

方針

(1) で正規直交基底まで作っておくと，(3) の分解が正射影の公式1本で終わる。正規直交でない基底のまま (3) に進むと，$\boldsymbol{a}=\alpha\boldsymbol{v}_1+\beta\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{c}$ と置いた4元連立方程式を解くことになる。設問の並びが「先に道具を作らせて後で使わせる」構成なのはこのためである。

検算

$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}=-4+2+0+2=0$，$\dim V+\dim V^{\perp}=2+2=4$ の3点を確認する。さらに $\boldsymbol{c}=-(1,-2,-5,0)^{\mathsf T}+(0,-1,-2,1)^{\mathsf T}$ と (2) の基底で書けることも整合する。

直交条件の立て方

$V^{\perp}$ を決めるとき，生成元3本すべてに直交条件を課しても答えは出るが，$\boldsymbol{v}_3$ の条件は冗長である。1次独立な生成元だけに条件を課せば式は2本で済む。この判断は (1) の結果を使っている。

失点しやすい点

$\boldsymbol{v}_3$ の従属性を見落として $\dim V=3$ とすると，(2) の基底が1本になり (3) の分解も合わない。(2) の「部分空間であることを示せ」も配点対象で，基底だけでは減点される。

方針

(3) の被積分関数が $(x^2+y^2)^{3/2}$ を含むことが，極座標を使えという合図である。極座標にすると $r^3+1$ が現れ，ヤコビアンの $r$ が分子に付いて (2) と同じ被積分関数になる。3つの小問が独立ではなく一直線に連なっているので，(1) の原始関数を符号込みで正確に出しておくことが全体の鍵になる。

収束判定の書き方

広義積分の収束は，値を計算してから「有限だったので収束」と書くのではなく，先に比較で押さえるのが安全である。(2) では $x\geq1$ で $f(x)\leq x^{-2}$，(3) では被積分関数が非負なので累次積分と重積分が一致する，という2点を明示すればよい。非負性があるためフビニ・トネリの定理が使え，収束・発散の判定と値の計算を同時に済ませられる。

検算

(2) の値はベータ関数の公式 $$\int_0^{\infty}\frac{x^{s-1}}{1+x^n}\,dx=\frac{\pi/n}{\sin(\pi s/n)}$$ で $s=2,\ n=3$ とした $\dfrac{\pi/3}{\sin(2\pi/3)}=\dfrac{2\pi}{3\sqrt3}$ と一致する。また (1) の結果は微分して $f(x)$ に戻ることを確かめられる。

失点しやすい点

$\arctan$ の項の係数を $\sqrt3$ のままにして，$\tfrac13$ を掛け忘れる誤りが多い。部分分数分解の $\tfrac13$ がどこまで掛かるかを式の上で追うこと。$F(0)$ の計算では $\arctan(-1/\sqrt3)=-\pi/6$ であり，$-\pi/3$ ではない。また (3) で $r=0$ 付近を「特異点」と誤解して余計な場合分けをする答案があるが，分母は $1$ 以上なので原点付近では有界であり，発散の恐れがあるのは $r\to\infty$ 側だけである。

方針

(1) から (3) までは「微分方程式を作り，ライプニッツ則で $n$ 回微分し，$x=0$ を入れて漸化式にする」という一本道である。逆三角関数やルジャンドル型の関数の高階微分係数を求める標準的な流れなので，手順そのものを覚えておくとよい。(4) だけは方針が変わり，漸化式ではなく恒等式を使う。

ライプニッツ則の使い方

$(1-x^2)f''$ を $n$ 回微分するとき，$1-x^2$ 側の微分は2階で止まるので和は3項で終わる。二項係数は $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\binom{n}{2}$ で，第3項の $\binom{n}{2}(-2)=-n(n-1)$ を落とすと $xf'$ 側の $-n$ と合わせた係数が $n^2$ にならない。ここが (2) の唯一の計算上の山場である。

偶数階が消える理由

$f(x)-\frac{\pi}{2}=-\sin^{-1}x$ は奇関数だから，2階以上の偶数階微分係数は原点で消える。(3) の結論はこの対称性と一致しており，漸化式を使わずに符号だけで確認できる。逆に言えば，(3) の答えで偶数階に $0$ 以外が出たら計算ミスである。

失点しやすい点

(3) で $f(0)=\pi/2$ を「偶数階の値」として $f^{(2m)}(0)=\pi/2$ と書いてしまう誤答が目立つ。漸化式が使えるのは $n\geq1$，すなわち $f^{(n+2)}$ の下端が $f^{(3)}$ からであり，$f(0)$ と $f''(0)$ はつながっていない。設問が「正の整数 $n$」に限っているのも，$n=0$ の場合を除くためである。(4) では $(-1,1)$ 上で定数と言うために連結性（あるいは平均値の定理）に触れておく。

方針

ブロック上三角であることを最初に見抜けば，5次の行列式を展開する必要はまったくない。左上の $2\times2$ ブロックだけが非自明で，その固有値が $2$（重解）であることが問題全体の構造を決めている。以降の (2)(3) は連立1次方程式，(4) は重複度の比較だけで済む。

最小多項式の決め方

$m_A$ が固有多項式 $(x-1)^2(x-2)^3$ を割ること，各固有値が必ず $m_A$ の根になることから，候補は $(x-1)^{k}(x-2)^{l}$（$1\leq k\leq2$，$1\leq l\leq3$）に絞られる。あとは細胞サイズを固有空間の次元から読むのが最短で，行列の冪を計算する必要はない。実際に検算するなら $(A-E)^2(A-2E)^2=O$ かつ $(A-E)(A-2E)^2\neq O$，$(A-E)^2(A-2E)\neq O$ を確かめればよい。

重複度の言い換え

「細胞の個数 = 幾何的重複度」「細胞サイズの総和 = 代数的重複度」「最大細胞サイズ = 最小多項式での指数」の3つを対応させる。固有値 $2$ では $(3,2)$ という組から分割 $3=2+1$ が一意に定まる。もし幾何的重複度が $1$ なら $J_3(2)$ となって $m_A$ の指数は $3$ になっていた。

失点しやすい点

(1) で $p=2$ も候補に挙げてしまう答案があるが，そのときは固有値 $1$ の重複度が $1$ のままなので条件を満たさない。また (3) を「代数的重複度 $3$」と答えるのは設問の読み違いで，問われているのは固有空間の次元である。(2) は $p=1$ を代入し忘れると連立方程式そのものが変わってしまうので注意する。

方針

(2) の3問はすべて「$R$ の元は $y^2=x^3+1$ を使って書き換えてよい」という一点に帰着する。(i) はその関係式を定める多項式が既約であること，(ii) は点 $(0,1)$ での値を取る写像の核が $I$ であること，(iii) は関係式を $y-1$ 中心に書き直すことである。曲線 $y^2=x^3+1$ は点 $(0,1)$ で滑らかなので局所環は離散付値環になり，$x$ の位数が $1$，$y-1$ の位数が $3$ になっている。(iii) の結論はこの事実の代数的な表現である。

既約性の別証

$F$ は $Y$ について2次だから，$\mathbb{C}(X)[Y]$ で可約であることと $X^3+1$ が $\mathbb{C}(X)$ の平方であることは同値である。$X^3+1=(X+1)(X^2-X+1)$ は相異なる3根をもつ3次式なので平方ではない。アイゼンシュタインを使わずにこの議論で済ませてもよい。

(iii) の計算の勘所

$u^3$ を $(*)$ で下げると $u$ の1次の項が係数 $4$ で現れる。この「次数が下がる」現象が単項性の源であり，$x^3=u(y+1)$ だけを見て $I^3\subset\langle u\rangle$ を示して満足すると半分しか終わらない。包含は両方向書くこと。なお $y+1$ は $R$ の単元ではない（点 $(0,-1)$ も曲線上にある）ので，$u=x^3/(y+1)$ と書いて済ませることはできない。

失点しやすい点

(1) で積を $\{ab\mid a\in I_1,b\in I_2\}$ と書くとイデアルにならない。有限和を取ることを必ず明示する。(2)(ii) で「$R/I$ は $\mathbb{C}$ と同型」と結論する際，準同型の核が $I$ に一致すること（$I$ より真に大きくないこと）の確認を落としやすい。$F(0,1)=0$ から $F\in\langle X,Y-1\rangle$ を導く一文を入れておく。

方針

(1) は「$A$ を中心とする中心射影」であり，双曲面上の点を単位円板に対応させる古典的な写像である。代入して $t$ の2次方程式を解くだけなので，$t=0$ が $A$ に対応する自明解であることに気づけば因数分解は一瞬で終わる。(2) 以降は回転面の一般論そのままで，$F=M=0$（座標曲線が曲率線）になることを前提に計算量を減らせる。

検算

$z=c(u)=\dfrac{1+u^2}{1-u^2}$ とおくと $$2z^2-1=\frac{2(1+u^2)^2-(1-u^2)^2}{(1-u^2)^2}=\frac{Q}{(1-u^2)^2}$$ なので，得られた結果は $$K=\frac{1}{(2z^2-1)^2},\qquad H=\frac{z^2}{(2z^2-1)^{3/2}}$$ と書き直せる。これは $S$ を $z=\sqrt{1+x^2+y^2}$ というグラフとみて曲率の公式に入れた結果と一致する。頂点 $u\to0$（$z\to1$）では $K\to1,\ H\to1$，すなわち単位球と同じ曲がり方になることも，$z\simeq1+\frac{x^2+y^2}{2}$ という近似と合う。

符号と法線の向き

$p_u\times p_v$ の $z$ 成分は $a\,a'>0$ なので，$n$ は上向き，つまり曲面の凹側を向く。この向きに対して $L,N$ がともに正になり $H>0$ となる。$n$ を逆向きに取れば $H$ の符号が変わる（$K$ は変わらない）ので，答案では法線の取り方を明記しておく。

失点しやすい点

$t=0$ を捨てる理由を書かずに $t=2/(1-u^2)$ だけを書くと，直線と曲面の共有点が2つある可能性を検討していないと見なされる。$A$ は下側の葉の上にあり $z>1$ を満たさない，と一言添える。また $K$ の分母 $EG-F^2$ と分子 $LN-M^2$ で $(1-u^2)$ の冪を数え違えると，$u\to1$ で $K\to0$ となるべきところが発散してしまう。最後に $u\to0$ の極限で球面の値と合うかを確かめると安全である。

方針

$\mathcal{O}_f$ は $f$ を連続にする最も粗い位相（引き戻し位相，始位相）である。この見方を持てば，(1) は逆像と集合演算の交換だけ，(2) は「コンパクト空間より粗い位相はコンパクト」という一般論，(3) は「$f$ が単射でないので点を分離できない」という一言に還元される。3問とも背後にあるのは同じ構造である。

一般化して見ると

実際には $\mathcal{O}_f$ 開集合は「$0$ と $2\pi$ を同時に含むか，どちらも含まないか」という制約を受ける。これは $[0,2\pi]$ の両端点を同一視した商空間，すなわち円周 $S^1$ の位相を $[0,2\pi]$ に引き戻したものにほかならない。商空間 $S^1$ 自体はハウスドルフだが，同一視前の $[0,2\pi]$ では2点が分離できなくなる，というのが (3) の内容である。

答案の書き方

(2) を，被覆から直接有限部分被覆を作る形で書こうとすると煩雑になる。「$f$ の連続性から $\mathcal{O}_f\subset\mathcal{O}_{\mathrm{ord}}$」という1行を先に置き，あとは通常の位相でのコンパクト性に帰着させるのが最も短い。連続性の定義（開集合の逆像が開）をそのまま使っている点を明示すること。

失点しやすい点

(1) で「有限交叉」を「任意交叉」と書いてしまう誤りに注意する。位相の公理では和は任意個，交わりは有限個である。(3) では「$0$ と $2\pi$ の像が等しいから分離できない」と結論だけ書くのではなく，$0$ を含む任意の $\mathcal{O}_f$ 開集合が $2\pi$ を含むことを逆像の定義から示す必要がある。また $0$ と $2\pi$ 以外の相異なる2点は実際に分離できるので，「どの2点も分離できない」と書くのは誤りである。

方針

(3) の $\mathbf{F}$ は一見複雑だが，発散を取ると $y^2,z^2,x^2$ の項がすべて消えて定数 $3$ になる。この形の出題は「発散定理を使え」という誘導そのものである。$S_1$ は閉曲面ではないので，$z=0$ の円板でふたをして閉じ，その寄与を引く。(2) の体積がそのまま (3) に使われる構成になっている。

回転面の作り方

母線が $xz$ 平面上の $z=g(x)$ で与えられ，$z$ 軸のまわりに回すとき，回転面は $z=g(\sqrt{x^2+y^2})$ である。本問の $g$ は偶関数なので $\sqrt{\phantom{x}}$ が残らず，多項式のまま書ける。母線は $x=1/\sqrt2$ で最大値 $9/4$ を取り，中心 $x=0$ の値 $2$ より高いので，曲面は火口のような形の稜線をもつ。それでも $r\leq\sqrt2$ 上ではグラフなので，体積は素直に $\iint f\,dA$ で計算できる。

検算

体積を $u=r^2$ と置換して $V=\pi\int_0^{2}(-u^2+u+2)\,du=\pi\left(-\frac83+2+4\right)=\frac{10}{3}\pi$ と再計算できる。また底面の寄与は $\iint_{D_0}r^2\,dS=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{\sqrt2}r^3drd\theta=2\pi$ であり，符号を除いて上の値と一致する。

失点しやすい点

(1) で「$z$ 成分が $1$」という指定を無視して $(f_x,f_y,-1)$ と書くと符号が逆になる。グラフ $z-f(x,y)=0$ の勾配は $(-f_x,-f_y,1)$ である。(3) では底面の外向き法線が下向きであることを忘れて符号を誤りやすい。また $S_1$ の範囲を $r\leq\sqrt2$ と正しく取ること。$z\geq0$ の条件がそのまま $r\leq\sqrt2$ に翻訳される点を (2) で確認済みにしておくと安全である。

方針

被積分関数が $x^{1/3}$ という分数冪をもつので，そのままでは実軸の負側と正側の寄与が打ち消し合わない。そこを逆に利用するのがこの積分路で，負の実軸上の寄与が $e^{i\pi/3}$ 倍になるため，和が $1+e^{i\pi/3}\neq0$ 倍になって $I$ が取り出せる。分岐切断を負の虚軸に置いているのは，実軸全体を積分路に使えるようにするためである。

別解

$x=\tan\varphi$ と置いてベータ関数に帰着させても $$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{1+x^2}dx=\frac{\pi/2}{\sin(\pi s/2)}$$ に $s=4/3$ を入れて $\dfrac{\pi/2}{\sin(2\pi/3)}=\dfrac{\pi}{\sqrt3}$ が得られ，上の値と一致する。答案では留数定理を使うよう指示されているので，この計算は検算に使うのがよい。

評価の書き方

円弧上の評価では，分母を下から押さえるのに三角不等式 $|1+z^2|\geq|z|^2-1$（大円）と $|1+z^2|\geq1-|z|^2$（小円）を使う。分子は $|z^{1/3}|=|z|^{1/3}$ であり，これは $\operatorname{Log}$ の実部が $\log|z|$ であることから従う。偏角の範囲が $(-\pi/2,3\pi/2)$ と広く取られていても絶対値には影響しない。

失点しやすい点

$C_{3,R}$ 上で $z^{1/3}=-|t|^{1/3}$ としてしまう誤りが最も多い。これは $e^{i\pi}$ の $1/3$ 乗を $e^{i\pi}$ と混同したもので，正しくは $e^{i\pi/3}$ である。また $C_{4,R}$ の向きは時計回りだが，(3) では絶対値評価だけなので向きは効かない。逆に (4) では $C_R$ 全体が正の向きの閉曲線であることが留数定理の前提になっているので，向きの整合を確認しておく。

方針

3つの小問は「連立系を解く → 保存量を見つける → 平行移動で同じ形に帰着させる」という一直線の流れで，(3) 単独で同次型の置換 $Y=vX$ を実行するより (1)(2) を使う方が圧倒的に速い。設問の並びが解法の誘導になっている典型例である。

保存量の作り方

固有値 $\lambda_1=3,\ \lambda_2=-2$ に対して，$\lambda_2$ の固有ベクトルに直交する向きの1次形式を取ると $e^{\lambda_1 t}$ だけが残り，逆も同様である。本問では $4X+Y$ が $e^{3t}$，$X-Y$ が $e^{-2t}$ に比例する。指数を消すには $(X-Y)^{p}(4X+Y)^{q}$ で $-2p+3q=0$ となる最小の正整数 $p=3,\ q=2$ を取ればよく，これが問題文の指数の由来である。

検算

$t=0$ を代入すると $X(0)=\frac{4X_0+Y_0+X_0-Y_0}{5}=X_0$，$Y(0)=\frac{4X_0+Y_0-4X_0+4Y_0}{5}=Y_0$ となり初期条件を満たす。また (3) の解を陰関数微分して $3(x-y-3)^2(1-y')(4x+y-2)^2+2(x-y-3)^3(4x+y-2)(4+y')=0$ から $y'$ を解くと元の方程式に戻る。

失点しやすい点

(3) で定数項 $-6$ を無視して直接 $y=vx$ と置くと同次型にならず行き詰まる。分母・分子の共通零点への平行移動が最初の一手である。また $C$ は「任意の実数」であって $0$ や負の値も許す。$(X-Y)^3$ の指数が奇数なので左辺は負の値も取り，$x-y-3=0$ や $4x+y-2=0$ という直線（$C=0$ の場合）も解に含まれることに注意する。

方針

すべての小問が (2) の成分表示 $(B\boldsymbol{x})_i=x_{h(e_i)}-x_{t(e_i)}$ に帰着する。(3) はこれを「辺の両端で値が等しい」と読み替え，(4) は ${}^{\mathsf T}\!BB$ を内積の和として成分ごとに数え上げる。行列の積を式変形で処理しようとせず，成分の意味に戻して数える姿勢が求められている。

背景

${}^{\mathsf T}\!BB=aI-A$ は，正則グラフ（各頂点の次数が $a$）におけるラプラシアン行列 $L=D-A$ の表示である。(3) は $\ker L$ が定数ベクトルで張られること，すなわち「ラプラシアンの固有値 $0$ の重複度が連結成分の個数に等しい」という定理の連結な場合である。$L={}^{\mathsf T}\!BB$ は半正定値で，${}^{\mathsf T}\!\boldsymbol{x}L\boldsymbol{x}=\sum_{e\in E}(x_{h(e)}-x_{t(e)})^2$ と書ける。

仮定がどこで効くか

$h(e)\neq t(e)$ は $A$ の対角成分が $0$ であること，および $b_{ij}$ の定義が矛盾しないこと（同じ行に $1$ と $-1$ が別の列に立つこと）を保証する。$(i,j)\in E\Rightarrow(j,i)\notin E$ は，同じ頂点対を結ぶ辺が高々1本であることを保証し，(4) の非対角成分がちょうど $-1$ になることに使われる。多重辺を許すとこの等式は成り立たない。

失点しやすい点

(3) で「連結だから明らか」と書いて終える答案が多い。辺の列に沿って値が伝わることを，共通端点の存在を使って1段ずつ示す必要がある。(4) の対角成分では $a_{jj}=0$ を明示すること。また向きの取り方（どちらが $h$ でどちらが $t$ か）は ${}^{\mathsf T}\!BB$ に影響しないが，その理由は積 $b_{ij}b_{ik}$ が符号の組で決まり，両方の符号を入れ替えても積が変わらないためである。

方針

3問とも「保持してよい情報は定数個の整数だけ」という制約が本質である。(1)(2) は走査しながら答えの候補を更新する形（オンラインアルゴリズム）にすればよく，鍵は不変条件を1つ書き下すことである。(3) だけは1回の走査では足りないので，走査回数を増やす代わりに記憶を増やさない方針，すなわち値そのものを2分探索する形に切り替える。

(2) の「2つめ」の意味

問題文の例が示すとおり，ここでの「2つめ」は相異なる値の2番目ではなく，重複を含めて降順に並べた列の2番目である。したがって最大値が2回以上現れれば答えは最大値そのものになる。更新条件を $S[j]>m_2$ と狭義の不等号で書いておけば，$S[j]=m_1$ の場合に $m_2$ が $m_1$ まで引き上げられ，この仕様を自然に満たす。

記憶量と走査回数の勘定

答案では「変数を何個使ったか」「走査を何回したか」を明示する。(3) で候補 $x$ を $S$ の要素から選ぶ方式にすると，$x$ を探すための走査が入れ子になって回数が増える。値域の中点を取る方式なら走査は各段で1回に収まり，値域を最初に (1) で押さえておく理由もここにある。

失点しやすい点

(1) を「最大値を求める走査」と「最小値を求める走査」の2回に分けると，1回という条件を破る。(3) では，$L\leq m$ かつ $G\leq m$ が十分条件でもあることの証明を落としやすい。問題文にあるのは必要条件の側だけなので，昇順列の位置 $m$ を使った逆向きの議論を自分で書く必要がある。終了性についても一言添えたい。