九大 理学府 物理学専攻 物理学 2024年度 院試 解答例・解説

方針

[I-A] は中心力束縛系の典型。糸の長さ一定から $\dot r_B=-\dot r$ を見抜き、極座標で運動エネルギー、$U=-m_B g(R-r)$ を立てる。$\phi$ は循環座標で角運動量保存、$\ell_A$ で $\dot\phi$ を消去して 1 自由度の有効ポテンシャル問題に帰着。極小点まわりの 2 次展開で振動周期を出す。[I-B] は剛体回転の運動方程式と接触点速度一致条件で滑り終了時刻を決める。ブレーキ付きでは線形 1 階非斉次方程式の解（特解＋指数減衰）。

典型ミス

B の鉛直運動から得る運動エネルギー $\tfrac12 m_B\dot r^2$ を忘れ、有効質量を $m_A$ にしてしまう（正しくは $m_A+m_B$）。$U_{\mathrm{eff}}$ で位置エネルギーの符号 $-m_B g(R-r)$ を取り違える。$E_m$ の取り方は B が平面下に居る条件 $r\le R$ から境界 $r=R$ で決まる点に注意。剛体側では摩擦力の向き（A は減速、B は加速）の符号則を一貫させる。

試験で書くべきポイント

$\ell_A$ 保存と $E$ 保存を独立に示し、有効ポテンシャル法に持ち込む流れを明示する。$r_c$ と $T_0$ は $\ell_A$、$m_A$、$m_B$、$g$ で表したあとの再代入で $r_c$ 表式にもまとめておくと採点者に伝わりやすい。剛体 [I-B] では接触点速度一致 $R_A\omega_A=R_B\omega_B$ が「滑り終了」の鍵で、ここから時刻が一意に決まることを強調する。

方針

[II-A] はマクスウェル方程式から波動方程式を導き、平面波解で $\boldsymbol k\perp\boldsymbol E,\boldsymbol B$ と $\omega=ck$ を確認、ポインティングベクトルとエネルギー保存則に至る基本一直線。$B_0=E_0/c$ と $u_e=u_m$ がエネルギー保存の鍵。[II-B] は磁気双極子の遠方場と $\boldsymbol B=\nabla\times\boldsymbol A$ の極座標展開。超伝導体は鏡像法で扱い、$z$ 軸との角度 $\pi-\alpha$ の鏡像双極子を仮定し、$O'$ 系の極座標で問 1 の表式をそのまま流用する。

典型ミス

$\boldsymbol B_{\mathrm{SC}}$ 計算で $\boldsymbol e_{\theta'}=-\boldsymbol e_x$ の符号を見落とすと $\boldsymbol e_x$ 成分の符号が逆になる。鏡像双極子の向きは「$z$ 軸となす角 $\pi-\alpha$」であって、単純な $\boldsymbol m$ の鏡映ではない（磁気双極子は擬ベクトル）。$\sin 2\beta$ の零点だけ書いて安定性判定（$\cos 2\beta_0$ の符号）を忘れない。

試験で書くべきポイント

[II-A] では「$\boldsymbol k\cdot\boldsymbol E=0$ から横波」「$\omega/k=c$」「$u_e=u_m$」「$\boldsymbol S=cu_{em}\boldsymbol e_z$」「保存則の物理的意味（電磁エネルギーの連続の式）」を簡潔に並べる。[II-B] では極座標公式を使うこと、鏡像が $(0,0,-L)$ に角 $\pi-\alpha$ で置かれることを明示し、最後に安定平衡 $\beta=0,\pi$ の物理像（双極子が超伝導体面に垂直）で締める。

方針

[III-A] は無限井戸の標準。境界条件で $kL/2=n\pi/2$、規格化で $\sqrt{2/L}$。壁拡張後の固有関数 $\Phi_N$ は幅 $2L$ の同じ族で $K_N=N\pi/(2L)$。$\langle E\rangle$ の計算は $\Psi$ がもとの $\hat H$ では $\varphi_1$ 固有状態だが、新しいハミルトニアン下でも $\Psi$ の運動エネルギー期待値は瞬時的に元の値に等しい点に注意。$\sum$ 公式の値が $\varepsilon_1$ を再現することで整合確認。[III-B] はスピン 1/2 の代数を $\hat S_\pm$ から組み立てる。$\hat H$ がベクトルの内積形なので $\hat H^2\propto\hat I$ となり指数関数が三角関数で閉じる。

典型ミス

[III-A] の幅 $2L$ 井戸で $E_N=N^2\pi^2\hbar^2/(8mL^2)$（分母の 8 を 2 にしない）。$\Phi_N$ の規格化定数は $\sqrt{1/L}$（幅は $2L$）。問 9 の $\sum_\ell$ では $\cos^2((2\ell-1)\pi/4)=1/2$ を使うのを忘れない。[III-B] では $\hat S_+|-\tfrac12\rangle=\alpha|+\tfrac12\rangle$ の係数を $\alpha=\hbar$ とすること（$\hbar/2$ ではない）。$\hat H^2=(\mu B_0\hbar/2)^2\hat I$ の $\hbar$ の次数を取り違えると $\Omega$ がずれる。

試験で書くべきポイント

[III-A] 問 6 で「$\Delta x$ 増→$\Delta p$ の最小値減→運動エネルギー最小値減」を不確定性関係 $\Delta x\Delta p\ge\hbar/2$ で明示する。問 9 では $\langle E\rangle=\varepsilon_1$ という美しい結果を、波動関数が瞬間的には元のままであることから自然な結論として書ききる。[III-B] では指数演算子の $\hat H^2\propto\hat I$ 利用が肝で、$\Omega=\mu B_0/2$ をRabi 振動数として明示すると遷移確率の形が見やすい。

方針

[IV-A] は熱力学第一法則と理想気体の式の組み合わせで進む。断熱自由膨張は仕事も熱もゼロで $T$ 不変、エントロピーは状態量なので等温過程で計算可。[IV-B] はカノニカル分布の標準。$Z=\sum e^{-\beta E_n}$、$\langle E\rangle=-\partial_\beta\ln Z$、$(\Delta E)^2=-\partial_\beta\langle E\rangle$、そして $F=\langle E\rangle-TS$ から $F=-k_B T\ln Z$。[IV-C] は光子気体（黒体放射）の Stefan-Boltzmann 則。状態数密度の $L^3/(2\pi)^3$、偏光 2、$\mu=0$ の三点を押さえる。圧力は気体運動論で 3 次元等方性 $\langle\cos^2\theta\rangle=1/3$ を使う。

典型ミス

[IV-A] 問 3 で「準静的でない」を理由にエントロピー計算を諦めない。状態量だから経路に依らず計算できる、と明示する。[IV-B] 問 3 で $(\Delta E)^2=-\partial_\beta\langle E\rangle$ から $C=(\Delta E)^2/(k_B T^2)$（$T^2$ を落とさない）。[IV-C] 問 5・6 で偏光 2 を二重に数えない（$f(\boldsymbol k)$ にすでに 2 が入っている）。$k_F$ の定数係数 $6\pi^2$ をスピン縮退度 2 を含めて $3\pi^2$ にしてしまうミスがあるが、本問は「内部自由度なし」とあるので $6\pi^2$。

試験で書くべきポイント

[IV-A] 問 3 では「断熱自由膨張で $\Delta U=0\Rightarrow T$ 不変」「等温可逆経路で $\Delta S$ を計算」「結果 $nR\ln(V_2/V_1)>0$」の 3 段階を明示。[IV-B] 問 3 ではゆらぎ-応答関係（揺動散逸の一例）として $(\Delta E)^2=k_B T^2 C$ を強調。[IV-C] 問 7 では運動量変化 $2\hbar k_z$、衝突頻度 $v_z/(2L)$、等方平均 $\langle\cos^2\theta\rangle=1/3$ の 3 点が要。