九大 理学府 物理学専攻 物理学 2023年度 院試 解答例・解説

方針

[I-A] は撃力直後の初期条件（並進・回転）を作り、滑り区間で動摩擦の方程式 $\dot v=\mu g$、$\dot\omega=-5\mu g/(2a)$ を解いて $v=a\omega$ になる時刻を求める。$v_0=a\omega_0$ となる「ぴったり転がる高さ」は $h_0=7a/5$ で、これより上で打つと初期に滑りがあり、最終的に純粋転がりに移行して $v_1=5Ph/(7Ma)$ で収束する。 [I-B] は円筒座標 $(r,\theta,z)$ で拘束 $z=r^2/(2a)$ を用い、$\dot z=r\dot r/a$ を入れた $L$ から循環座標 $\theta$ の保存則と $r$ の方程式を導出。安定円軌道のまわりの微小振動は $\omega_r^2=4ga/(a^2+r_0^2)$。

典型ミス

撃力時の角運動量変化で「中心と作用点の距離」を $h$ ではなく $h-a$ にする（中心高さは $a$）。摩擦力の向きを取り違え $\dot v$ と $\dot\omega$ の符号を間違える。$\omega$ を時計回り正にとるか反時計回り正にとるかを最初に固定する。$r$ の運動方程式で $\dot r^2/a^2$ の項を落とすと係数が変わる。微小振動で $1+r_0^2/a^2$ の有効質量因子を忘れると $\omega_r^2=4g/a$ になってしまう。

試験で書くべきポイント

慣性モーメントの導出は $(x^2+y^2)$ を球座標で積分する流れを明示し、ヒントの $\sin^n$ 公式を使うことを明記する。撃力の問題では「直後の運動量・角運動量を求める→純粋転がり条件 $v=a\omega$ を立てる→運動方程式を積分」という構造を最初に書く。回転放物面の問題では Noether 保存則として $mr^2\dot\theta$ の物理意味を述べ、円軌道の安定性は1次の有効ポテンシャル展開で締めくくる。

方針

[II-A] は静磁場の Poisson 型方程式に帰着し、$z$ 方向のみのベクトルポテンシャルなら $\boldsymbol B$ は2次元的な $(\partial_y f,-\partial_x f)$ となる。電流の無い領域では $f$ は調和関数で、複素関数論（CR と Taylor 展開）で解析。$\ln(\zeta-aw^k)$ の和は8回対称の双極子配列を作るが、原点付近の主要項は $\zeta^2$ で4極子的に振る舞う。 [II-B] は導波管のスタンダード問題。Helmholtz 型方程式に分離した上で TM の境界条件 $E_z=0$ から $\sin\sin$ モードを取り、分散関係 $\omega^2=c^2[k_z^2+\kappa^2]$ から $v_g v_p=c^2$ という重要関係を導く。

典型ミス

$\boldsymbol B=\nabla\times\boldsymbol A$ の符号で $B_y=-\partial_x f$ の負号を落とす。$\ln(-aw^k)=\ln a+i(\pi+k\pi/4)$ の枝の処理を間違えて $c_0$ を実数にしてしまう（実部 $u$ には影響しないが、$f$ の値域は虚軸上）。Taylor 展開で $\zeta=aw^k$ を「中心」にしたつもりで $1/\zeta$ ではなく $\zeta/(aw^k)$ で展開することを意識する。導波管で TM と TE の境界条件を取り違える（TM は $E_z$ が境界で 0、TE は $H_z$ の法線微分が 0）。

試験で書くべきポイント

ベクトル解析の公式を引用してから $\nabla\cdot\boldsymbol A=0$ で帰着、という流れを最初に書く。ベクトル場の図の選択は原点近傍の主要項 $c_2\zeta^2$ から $\boldsymbol B=(-4x/a^2,4y/a^2)$ を計算し、双極子ではなく鞍点パターンに対応する [c] と答える論理を明示する。導波管の最後では「位相速度は光速を超えるが、群速度は光速を超えない、両者の積が $c^2$」という相対論的整合性をひと言添える。

方針

[III-A] は不確定性関係の標準的な導出。$\Delta\hat A\Delta\hat B$ をエルミート部と反エルミート部に分け、後者の係数 $\hat D=[\hat A,\hat B]/i$ がエルミートであることを使い、Schwarz の不等式 $\langle\alpha|\alpha\rangle\langle\beta|\beta\rangle\ge|\langle\alpha|\beta\rangle|^2$ に $|\alpha\rangle=\Delta\hat A|\psi\rangle$ を入れて結ぶ。ガウス状態は等号を達成するので $\langle(\Delta\hat p)^2\rangle$ が $\hbar^2/(2d^2)$ と直ちに決まる。 [III-B] は時間依存摂動論の典型。相互作用描像の係数 $C_m(t)$ の方程式を $\lambda$ で展開、振動 cosine 摂動から共鳴項（$\omega_{m\ell}\pm\omega\to 0$）を読む。

典型ミス

$\Delta\hat A\Delta\hat B$ のエルミート部・反エルミート部の取り出しで $\hat C,\hat D$ の規約（$1/2$ や $1/i$）を間違える。$|\langle\hat E+i\hat F\rangle|^2$ の計算で $\hat E,\hat F$ がエルミートなら期待値が実数だから単純に二乗の和になる、という事実を使い忘れる。ガウス波束で $\langle\hat x\rangle=p_\psi$ と勘違いしない（$p_\psi$ は運動量期待値、$\hat x$ の期待値は $0$）。摂動論で空欄 あ を $e^{i(E_n-E_m)t/\hbar}$ と符号反対に書かないように。

試験で書くべきポイント

不確定性関係の導出は (1)(2)(3)(4) の流れに沿い、最後に Schwarz と (2)(3) の組合せで結論を結ぶ構造を見せる。ガウス状態の運動量分散は等号成立から逆算できると一行添える。摂動論では $\omega_{m\ell}=(E_m-E_\ell)/\hbar$ を定義してから cosine を二つの指数に分解し「吸収・誘導放出」の解釈を最後に書く。

方針

[IV-A] は熱力学の標準的な穴埋めから始め、Helmholtz の自由エネルギーの自然変数 $(T,V)$ から Maxwell 関係式 $(\partial S/\partial V)_T=(\partial p/\partial T)_V$ を導く流れ。VdW では $(\partial U/\partial V)_T=a/V^2$ が $T$ に依らないので $C_V$ は $V$ に依らない。断熱準静は $C_V dT+\tfrac{a}{V^2}dV+pdV=0$ から $a/V^2$ が消えて $T(V-b)^{R/C_V}=$ const。 [IV-B] は半楕円状態密度の Sommerfeld 展開。$D(\varepsilon)=D(-\varepsilon)$ と $\mu=0$ から $T=0$ の内部エネルギーが解析的に書け、低温比熱は $\propto T$。磁化率は1次展開で Pauli 常磁性 $\mu_B^2 D_0$、温度補正は $D''(0)$ から $-1$ 次の係数を持つ。

典型ミス

Helmholtz と Gibbs の混同：$F$ の自然変数は $(T,V)$ で、$dF=-SdT-pdV$。Maxwell の符号を逆に書かない。VdW で「内部エネルギーは温度のみの関数」と仮定してしまうと $a/V^2$ の補正で間違える。Sommerfeld 展開で1次の温度補正は $D'(\mu)$、磁化率の温度補正は $D''(0)$ という階数の違いに注意。半楕円なので $D'(0)=0$（偶関数の極大）、$\chi$ の $T$ 依存性は $D''(0)<0$ から「下に凸の減少」になる。

試験で書くべきポイント

熱力学関係式は「自然変数を明示→自由エネルギーから Maxwell→ $(\partial U/\partial V)_T$ の表式」という流れを書く。VdW の断熱準静で $a/V^2$ の項が消える経緯（$pdV$ の中の $-a/V^2$ が $(\partial U/\partial V)_T=a/V^2$ と打ち消し合う）を明示する。Sommerfeld 展開を「温度0次＋$T^2$ 補正」として体系的に使い、$\chi(T)$ の係数で $D_0/E_0^2$ の出所が $D''(0)$ である点を強調する。