九大 理学府 物理学専攻 物理学 2020年度 院試 解答例・解説

方針

[A-I] は変分原理の標準導出。$\delta\dot q$ を消すため部分積分し、端点条件で境界項を落として任意性から E-L 方程式を出す。[A-II] では $L=T-U$ の構成、$E=p\dot q-L$ がハミルトニアン（時間並進対称性に対応する保存量）であることを使う。[B] は剛体回転の典型問題。撃力では $\Delta\boldsymbol L=\boldsymbol N\Delta t$、歳差では $d\boldsymbol L/dt=\boldsymbol N$ で水平成分の連立 ODE を $\zeta=X+iY$ で解くと $\Omega=MgR/(I\omega_2)$ が即出る。

典型ミス

変分の境界項 $[\partial L/\partial \dot q\,\delta q]_{t_1}^{t_2}$ を残したまま $\delta S=0$ から E-L を導いてしまう（$\delta q(t_{1,2})=0$ を明示する）。$E=\partial L/\partial \dot q\cdot\dot q-L$ を $H=T+U$ と見なすには $L$ が時間に陽依存しないことが必要。歳差の角運動量を $z$ 軸まわりではなく軸方向に取る点（問題で指定）を見落とすと $\Omega$ の表式が変わる。

試験で書くべきポイント

変分計算ではテイラー展開→部分積分→境界項処理→任意性の四段階を明示する。$dE/dt=\dot q(m\ddot q+kq)=0$ のように運動方程式を経由して保存則を示す手順を書く。歳差では $d\boldsymbol L/dt=\boldsymbol N$ から複素変数化（$\zeta=X+iY$）で $\dot\zeta=i\Omega\zeta$ を作ると、初期条件と $\Omega$ が同時に求まることを示すと検算が容易。

方針

[A-I] は双極子ポテンシャルの $1/r$ 展開の典型導出。[A-II] は鏡像（双極子像）法：等電位面 $r=a$ で $\Phi=0$ から $p$ を決め、$\sigma=\varepsilon_0 E_n$（外側のみ）で表面電荷を計算。[B-I] はアンペールの法則を境界をまたぐループに適用する標準証明。[B-II] は $\Phi_m\propto r^n\cos\theta$（$\ell=1$ ハーモニクス）でラプラス方程式を解き、$r$ 成分連続から $A$、$\theta$ 成分のジャンプから表面電流密度。

典型ミス

[A-I] (3) で $\sqrt{1-2d\cos\theta/r+d^2/r^2}^{-1}$ を一次までに展開する際、$1+d\cos\theta/r$ と書くべきところを符号を誤って $1-d\cos\theta/r$ としやすい。導体球表面電荷 $\sigma$ は導体外側の法線電場 $E_n=E_r|_{r=a^+}$ のみで決まり、$3\varepsilon_0 E_0\cos\theta$（一様電場 $E_0\cos\theta$ と双極子寄与 $2E_0\cos\theta$ の和）になる係数 $3$ を間違えやすい。$H_\theta$ の境界条件は内部 $H_\theta^{\mathrm{I}}=-H_0\sin\theta$（$\boldsymbol H_0$ は $z$ 軸正向きなので $\boldsymbol e_\theta$ 成分は $-H_0\sin\theta$）。

試験で書くべきポイント

[A-II] では $\Phi=\Phi_u+\Phi_d$ の境界条件を書き下し、$p$ の決定式を明示する。[B-I] は $h\to0$ で $z$ 方向辺の寄与が消えること、$I_{\mathrm{enc}}=j_y\Delta x$ の右ねじ整合を一言添える。[B-II] (2) は $\nabla^2(r^n\cos\theta)=[n(n+1)-2]r^{n-2}\cos\theta$ を陽に計算し、無限遠条件で $n=-2$ を選ぶことを明記する。

方針

[A] は調和振動子の代数的構成の標準問題。生成消滅演算子の交換関係から $\hat N$ のスペクトルが非負整数であることを示し、$\hat x,\hat p$ を $\hat a,\hat a^\dagger$ で書き換えて期待値を取る。後半は二次元 Fock 空間における Schwinger ボソン表現で、$\hat J_\pm,\hat J_z$ が角運動量代数を満たす。$\hat J^2=(\hbar^2/4)\hat N(\hat N+2)$ は $\hat N/2=j$ と置けば $\hbar^2 j(j+1)$ の形である。[B] は $2\times2$ ハミルトニアンの典型対角化と avoided crossing。

典型ミス

$\hat x^2,\hat p^2$ の期待値で $\hat a\hat a^\dagger$ と $\hat a^\dagger\hat a$ の両方を取り、$\hat a\hat a^\dagger=\hat N+1$ を忘れて $2n$ にしてしまう（正解は $2n+1$）。縮退度の数え上げで $E_2=7\hbar\omega/2$ に $(n_+,n_-)=(2,0),(0,1)$ の $2$ 状態を見落とす。[B] (4) で $\psi_1=\binom{0}{1}$、$\psi_2=\binom{1}{0}$（添字と縦並びが入れ替わっている）を取り違える。

試験で書くべきポイント

$[\hat N,\hat a]=-\hat a$ から「$\hat a$ は固有値を $1$ 下げる」という階段構造を明示し、非負性と整数性を別々に示す。$\hat J^2=\hat J_z^2+\frac12(\hat J_+\hat J_-+\hat J_-\hat J_+)$ を $\hat N_+\hat N_-+\hat N_+, \hat N_+\hat N_-+\hat N_-$ に展開して相殺を使う。$|\alpha|^2,|\beta|^2$ は半角の形 $\tfrac12(1\pm\cos\Theta)$（混合角 $\tan\Theta=|c|/(k\lambda)$）に書くと幾何学的意味が明瞭になる。

方針

[A] は単原子理想気体の標準的なポアソン式と Carnot サイクルの効率関係。$P=2U/(3V)$ から $U=3PV/2$ を経由するのが要。[B] は $\pm$ 二択の連鎖を二項分布で扱い、エントロピー弾性（ゴム弾性のミクロモデル）を導く問題。$X=\partial F/\partial x$ の符号と、近似 $\log[(1+\xi)/(1-\xi)]\approx 2\xi$ がポイント。[C] は重力下の理想気体の典型的なカノニカル計算。$z$ 積分が指数分布になる点と、$Z_1$ が $T^{5/2}$ に比例する点が熱容量の値を決める。

典型ミス

[A](2) で $dU=-PdV$ と $dU=3(PdV+VdP)/2$ の両方が必要なのに、$U=3PV/2$ から直接 $dU$ を取らず $C_V dT$ で押し通そうとして詰まる。[B](3) のスターリング近似で $N$ 系列の項（$-N+N(1+\xi)/2+N(1-\xi)/2=0$）が打ち消すことを使わずに残してしまう。[C] の $Z_1$ で $z\in[0,\infty)$ なのに $z\in(-\infty,\infty)$ の積分公式（$\sqrt{\pi/a}$）を使うと係数が $2$ 倍ずれる。$h^3$ の位相空間因子も忘れがち。

試験で書くべきポイント

[A](4) では $TV^{2/3}=$ 定数を断熱過程の両辺に適用して $V_B/V_A=V_C/V_D$ を出し、$Q_1/T_1=Q_2/T_2$ を等温過程での仕事の対数表式に代入する。[B](4) では $\xi$ が小さい極限で線形 $X\propto x$ となり、有効ばね定数が $k_BT/(Na^2)$ と温度に比例することが「エントロピー弾性」のキーフィーチャー。[C](4) では「並進 3 自由度の $3Nk_B/2$」と「重力ポテンシャルの平均値 $Nk_BT$ から来る $Nk_B$」の足し算と読み解き、5/2 倍の半古典的等分配で説明できることに触れる。