京大 情報学研究科 数理工学コース 2025年度 院試 解答例・解説

楕円上の線形関数

制約 $x^\top Qx=1$ 上で $c^\top x$ を最大化すると，Cauchy--Schwarz により最大値は $\sqrt{c^\top Q^{-1}c}$ になる。今回は $Q=\operatorname{diag}(2,3)$, $c=(1,-1)^\top$ なので， ラグランジュ未定乗数を直接解かなくても値がすぐ出る。

重積分の順序

条件 $x^2\le y\le 2$ から先に $x$ の範囲を確定するのが安定する。 $y$ 方向に積分すれば integrand が $x$ だけになり，偶関数として処理できる。

像空間の基底

行基本変形後のピボット列の番号を確認し，元の行列の対応する列を取るのが基本である。 行基本変形後の列をそのまま像空間の基底として書くと，写像 $Bx$ の値域の基底ではなくなるので注意する。

三重対角行列式

この型は隣接2項の漸化式に落とすのが最も速い。最後の答えを $(1-t^{2n+2})/(1-t^2)$ とだけ書くと $t=\pm1$ の扱いが残るため，多項式 $\sum_{k=0}^{n}t^{2k}$ として書くのが安全である。

複素関数の核

$\varphi_\alpha$ は単位円板の自己同型であり，Schwarz--Pick の証明で使う標準変換である。 式を暗記するより，$|1-\overline{\alpha}z|^2-|\alpha-z|^2$ を展開して正になることを示す方が答案として強い。

条件 (c) の落とし穴

全頂点対の到達可能性をそのまま調べると $O(n(n+m))$ になってしまう。 強連結成分で潰して DAG にし，トポロジカル順序上の隣接成分だけを見るのが線形時間化の要点である。

凸最適化の見方

(P1) は「制約を1単位満たすための単価」が本質である。単価が最小の成分に重みを置くため，双対最適値は $\min_i b_i/a_i$ になる。 (P2) は Jensen の不等式でも同じ結論に到達できるが，KKT 条件を用いる指定があるため，乗数条件から全成分が等しいことを示すのが答案として自然である。

動的出力フィードバック

最後の設問は，具体的な数値を一組出せばよい。可制御性と可観測性があるので，状態フィードバックとオブザーバを別々に極配置し，分離原理で閉ループの収束率を保証する。 極を $-1,-2,-3$ と $-2,-3,-4$ に置けば，要求される二乗ノルムの指数条件を満たす。

分散は $\log Z$ の二階微分

$Z$ そのものを微分してから整理してもよいが，熱力学量では $\langle E\rangle=-\partial_\beta\log Z$， $\operatorname{Var}(E)=\partial_\beta^2\log Z$ と覚えておくと符号を間違えにくい。

理想気体の係数

$h=1$ が指定されているため，通常の $h^{-3N}$ は現れない。 同種粒子なので $1/N!$ を入れる点も重要である。これは $\langle E\rangle$ や分散には影響しないが，分配関数の表式には必要である。

一次低階化

(ii) は $x'$ だけを未知関数にすると一階線形方程式になる。 この置き換えを忘れて定数係数のように扱うと解けない。

既知解から二つ目の解を作る

一次微分項のない $x''+g(t)x=0$ では，既知解 $x_1$ に対して $$x_2=x_1\int x_1^{-2}\,dt$$ が使える。Wronskian が定数になることから導かれる公式であり，今回のように $g(t)$ を明示的に求めなくても一般解まで進められる。