京大 情報学研究科 数理工学コース 2024年度 院試 解答例・解説

有理点と無理点の扱い

第1小問は Thomae 型の関数である。有理点の不連続性は無理数列を近づければ一撃で示せる。 無理点の連続性は，分母が小さい既約分数が局所的に有限個しかないことを使う。

極値判定

$(x^2+y^2)^2+2xy$ は原点で停留するが，$2xy$ が正にも負にもなるため極値ではない。 停留点を出したあと，変数 $u=x+y,\ v=x-y$ に移すと大域最小であることまで確認しやすい。

対角化の基本形

線形独立な固有ベクトルが $n$ 本あれば，それらを基底にした表示が対角表示である。 第2小問は固有値が3つ異なるため，固有空間の次元を深く調べなくても対角化可能と分かる。

階数2の判定

全成分が1の行列は固有値 $3,0,0$ をもつ。この分解を使うと，行列式だけでなく階数まで短く判定できる。

フーリエの端点

区間 $[0,T)$ で定義された関数は周期延長して考える。端点で不連続ならフーリエ級数の極限は左右極限の平均になる。 一様収束を問われたら，まず周期延長後の連続性を確認するのが最短である。

最短路だけの DAG

無向グラフそのものでは閉路があるが，最短路で使える枝を距離の増える向きに限ると DAG になる。 この DAG 上で「通過済みか」「何個通ったか」を状態に持てば，重複なく線形時間で数えられる。

Aノルムで見る射影

制約集合は $A$-ノルムの単位球であり，目的関数は $y$ からその集合までの $A$-距離である。 したがって最適解は，球内なら $y$ 自身，球外なら原点から見た $A$-球面への放射方向の射影になる。

最小実現

元の状態は4次元でも，入出力で見える伝達関数の次数は2である。 最小実現は元の行列をそのまま縮約しなくても，得られた伝達関数を実現する可制御・可観測な2次系を示せばよい。

累積和は重み付き和に直す

$\sum_n x_n$ をそのまま二重和で扱うと煩雑になる。 各 $v_i,w_i$ が何回現れるかを数えて $(N-i+1)$ という重みに直すと，独立でなくても与えられた相関式だけで処理できる。

Riccati 方程式

$\omega=\phi'/\phi$ と見ると，2階線形方程式は $\omega'+\omega^2=r$ という Riccati 型方程式に変わる。 最後の次数評価は，無限遠での有理関数の主項だけを見ればよい。