京大 情報学研究科 数理工学コース 2022年度 院試 解答例・解説

必要条件と十分条件の区別

級数収束なら一般項は $0$ に収束するが，逆は成り立たない。この区別は頻出で，調和級数が最も短い反例になる。

導関数の極限は面積だけでは決まらない

$f$ が単調増加で極限をもつことは，$f'\ge0$ の面積が有限であることに対応する。しかし非負連続関数の面積が有限でも，関数値そのものが $0$ に収束するとは限らない。幅を急速に小さくした山を置くと，全体の面積は有限のまま高さだけを保てる。

平均ギャップの望遠和

隣接差の総和が最大値と最小値の差に潰れることが基本である。これは以降の二分探索の正当性にも使われる。

二分探索で失われない性質

中央のギャップが平均より小さいなら，左右どちらかの内部では平均ギャップが元より大きくなる。そうでなければ，全体の範囲を足し戻したときに元の平均ギャップに届かないためである。この不変量があるので，整列せずに線形時間で探索できる。

内点からの改善方向

$Y$ は現在点 $y$ の成分を使ったスケーリングである。制約 $\|Y^{-1}d\|\le1/2$ により，各成分の相対変化が高々 $1/2$ に抑えられるため，$y+d$ の非負性が保たれる。

射影の役割

$p$ は $Y^2$ で重み付けされた意味で $c$ を $A^\top$ の像に射影する量である。残差 $q=c-A^\top p$ が $AY^2q=0$ を満たすことが，$d^\ast$ を等式制約 $Ad=0$ の中に入れる鍵である。

変位フィードバックだけでは減衰がない

$u=-cy$ はばね定数を $k+c$ に変えるだけで，速度に比例する減衰項を作らない。そのため根は純虚数か零根か不安定実根になり，漸近安定にはならない。

周波数応答の最大値

条件は分母の二乗 $$(k-m\omega^2)^2+d^2\omega^2$$ の最小値評価に帰着する。2次関数として $\omega^2$ で最小化すると，減衰が小さいときだけ共振ピークが現れる。

角運動量保存

中心力では接線方向の力がないため，$r^2\dot\theta$ が保存する。質量 $m$ を掛ければ通常の角運動量になるが，本問の $h$ は質量を除いた量である。

Binet 方程式の符号

ここでは中心力の正方向が外向きに取られている。そのため通常の「内向きを正」とした形と符号が逆に見える。動径方向の式から一度導くと符号ミスを避けられる。

基底の選び方

各成分が2次同次多項式なので，第一成分に $x^2,xy,y^2$ を置く3通りと，第二成分に置く3通りで合計6次元になる。

列ベクトルの順番

表現行列は「基底ベクトルの像を，同じ基底で展開した係数」を列に並べる。行と列を逆にしないことが重要である。

奇関数の Fourier 級数

この関数は奇関数なので余弦係数は全て消える。残る正弦係数も偶数次では消え，奇数次だけが現れる。

Gibbs 現象につながる極限

$S_{2n}(\pi/(2n))$ は不連続点の近くを $n$ に応じて拡大して見ている量である。中点 Riemann 和に直すと，$\sin x/x$ の積分が自然に現れる。

最大流最小カット定理の核

本問は定理そのものを段階的に示している。カットをまたぐ正味流量がカット容量を超えないこと，増加路がないとき到達可能集合が等号を達成することが中心である。

最小カットでは等号条件が強い

最小カット $X$ で $\operatorname{cap}(X)=\operatorname{val}(f)$ になると，$X$ から外へ出る枝は全て飽和し，外から $X$ へ入る枝の流量は全て $0$ になる。このため残余ネットワークでは $X$ から外へ出られない。

$g$ を作る意味

$f$ は一般には凸とは限らないが，$\frac12x^\top x$ を足した $g$ は Hessian が $Q+I$ となり凸になる。まず凸な $g$ を最小化し，球制約上で $f$ に戻すのが問題の仕掛けである。

球制約の使い方

$f=g-\|x\|^2/2$ なので，$g(x)\ge g(u)$ だけではまだ不十分である。そこで $\|x\|^2\le1=\|u\|^2$ を使うと，差し引く量まで比較できる。

可観測でない理由

行列 $A$ の第3列は $(0,0,-1/2)^\top$ であり，$x_3$ は $x_1,x_2$ や出力 $y=x_2$ に影響しない。そのため $x_3$ の初期値は出力から復元できず，可観測ではない。

LQR の低次元化

コストは $x_2$ と $u$ だけを見ており，$x_3$ は安定な従属モードである。したがって本質的には $x_1,x_2$ の2次元 LQR を解けばよく，Riccati 解の第3行・第3列は $0$ になる。

不変測度の計算

$\mu(dx)=dx/(\pi\sqrt{1-x^2})$ は $x=\cos\theta$ により一様測度 $d\theta/\pi$ に変わる。この変換で全ての平均が三角関数の直交性に帰着する。

拡散係数で交差項が残る理由

$B(X_n)-\langle B\rangle$ は $\cos(4^n\theta)$ と $\cos(4^{n+1}\theta)$ の和である。時刻をずらして足し合わせると隣同士が同じ周波数に重なり，係数が $a_1+a_2$ になる。この重なりが $D$ に現れる。

全1行列の固有分解

この行列は $aI+b\mathbf1\mathbf1^\top$ と見れば一気に解ける。全成分が同じ方向だけ固有値が $a+nb$ になり，成分和が0の方向では固有値が $a$ のままである。

必要十分条件

初期値 $e_1$ は $\mathbf1$ 方向にも，成分和0の方向にも射影をもつ。したがって片方の固有値だけが負でも不十分で，$a$ と $a+nb$ の両方が負であることが必要十分になる。