東工大 理学院 物理学系 物理学コース 物理 2024年度 院試 解答例・解説

方針

衝突時間は短いので，重力の力積は無視し，床からの力積だけで速度の飛びを 記述する。水平力積 $J$ は並進速度を変える一方，同じ力積が接地点で働くた め角速度も変える。符号を間違えないためには，正の角速度で接地点が左向き に動くことを先に確認しておくとよい。

検算

得られた変換は $$S^2=E,\qquad v_x'^2+\frac{2}{5}(a\omega')^2 =v_x^2+\frac{2}{5}(a\omega)^2$$ を満たす。つまり，同じ衝突をもう一度作用させると元に戻り，運動エネルギー も保存する。これは弾性衝突として自然な反射になっていることを示している。

典型ミス

$I(\omega'-\omega)=+aJ$ としてしまうと，接地点速度の反転 $u_x'=-u_x$ が出ない。図の角速度の正方向では，$+x$ 方向の摩擦力は正の 自転を減らす向きのトルクを与える。

軌跡の見方

$$\lambda=1:\ v_x=a\omega$$ では衝突前から接地点が床に対して滑らないので，水平方向の力積は 0 である。 各跳躍は同じ水平速度をもつ放物線になる。一方 $$\lambda=-1:\ v_x=-\frac{2}{5}a\omega$$ では衝突ごとに水平速度が反転する。同じ高さへ戻る理想的な跳躍を考えると， 左右に往復する概形になる。

方針

同軸ケーブルは円筒対称性が強いので，電場はガウスの法則，磁場はアンペール の法則でほぼ一行で決まる。重要なのは，どの半径でどれだけの電荷・電流が 囲まれるかを領域ごとに分けることである。

エネルギーから定数を読む

電気容量は $U_E=C_0V^2/2$ から読んでもよいが，この問題では $C_0=\lambda/V$ の方が短い。インダクタンスは $U_B=L_0I^2/2$ から読む。内導体内部の磁場エネルギー $\mu_0I^2/(16\pi)$ を落とすと，直流の $L_0$ が不足する。

表皮効果の意味

高周波で電流が導体表面に偏ると，導体内部に磁場が入りにくくなる。したがっ て磁場エネルギーが小さくなり，実効インダクタンスも小さくなる。答案では 「表皮効果」と「内部磁場エネルギーの減少」を両方書くと理由が明確である。

検算

交流表面電流の場合， $$L_0^{\mathrm{ac}}C_0 =\left(\frac{\mu_0}{2\pi}\log\frac{b}{a}\right) \left(\frac{2\pi\varepsilon_0}{\log(b/a)}\right) =\mu_0\varepsilon_0$$ となり，幾何学的な比 $b/a$ が消える。真空中の電磁波速度と一致するので， 結果の物理的な整合性が確認できる。

方針

微分方程式は，そのまま $f,g$ を解こうとすると非線形で扱いにくい。指定さ れた置換を行うと $$F'=FG,\qquad G'=F^2$$ となり，保存量 $F^2-G^2$ がただちに見える。境界条件が定数の値を決める ところまでがこの設問の狙いである。

原点での級数

原点条件から $a_0=1,\ b_0=0$ を先に入れる。$xg'=g+1-f^2$ の右辺では $1-f^2$ の定数項が消えるため，1 次係数の比較で $a_1=0$ が強制される。 ここを曖昧にすると $b_2=-2a_2$ の符号を誤りやすい。

積分の検算

$k=0$ とおくと $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{\cosh x}=\pi$$ であり，得られた式も $\pi/\cosh0=\pi$ を返す。また $|k|$ が大きいと 指数的に小さくなるので，滑らかな関数のフーリエ変換として自然である。

方針

前半は一次元束縛状態の標準問題である。偶ポテンシャルなので偶奇性で分類し， 有限井戸では外側を指数関数，内側を三角関数でつなぐ。3 状態存在条件は 「第 2 偶状態が束縛される条件」と読むと短い。

3 状態条件の見方

有限井戸の状態数は $$q^2+p^2=\rho^2$$ の円と，$q\tan q=p$，$-q\cot q=p$ の交点の数で決まる。第 1 偶状態， 第 1 奇状態に続く第 2 偶状態は $q=\pi$ を越えたところで初めて現れる。 等号では外側の減衰率が 0 となり，正規化可能な束縛状態ではないため条件は 厳密に $>$ である。

三準位近似の注意

$\hat x$ は偶奇性を反転する演算子なので，対角成分は 0 である。摂動 $-F\hat x$ による基底状態の 1 次補正では $|0\rangle$ と直接結合するのは $|1\rangle$ だけで，$|2\rangle$ は寄与しない。この選択則を書いてから計算 すると，符号と係数 $1/\sqrt2$ を落としにくい。

検算

初期状態の期待値は $$\langle x\rangle(0) =\frac{2p_0}{3\sqrt2}(1-1)=0$$ である。これは初期ベクトルの 0--1 間の寄与と 1--2 間の寄与が，行列要素の 符号差で打ち消すことに対応している。

方針

吸着問題は，吸着サイトの組合せエントロピーと気体の自由エネルギーを足し， $n$ で最小化するだけでよい。$N\gg M$ の条件は，気相分子数を $N-n\simeq N$ と近似してラングミュア型の簡単な形にするために使う。

化学ポテンシャルで見る

平衡条件は $$-\varepsilon+k_BT\log\frac{\theta}{1-\theta} =k_BT\log\frac{N\lambda_T^3}{V}$$ である。左辺の $-\varepsilon$ は吸着でエネルギーが下がる効果，対数項は 吸着サイトを埋めることによる配置エントロピーの損失を表す。

三準位固体の極限

低温ではエネルギー $-\varepsilon$ の 2 重縮退した状態だけが占有されるので $S\to Nk_B\log2$ となる。高温では 3 状態が等確率になり $S\to Nk_B\log3$ である。比熱は低温でも高温でも 0 に近づくため，典型的な Schottky 型の山を描く。

典型ミス

吸着分子数を $n$ としたとき，気体分子数は $N-n$ である。自由エネルギーを 微分する段階でここを $N$ のまま扱うと，平衡条件の導出が不明確になる。 最後に $N\gg M$ を使って $N-n\simeq N$ とする順序が安全である。

方針

この大問は短い実験系の設問を確実に処理する問題である。数値問題では， 何を読んだか，どの近似を使ったか，有効数字をどう丸めたかを答案に残すと 採点者に伝わりやすい。

霧箱の数値

$6.66\,\mathrm{MeV}$ は $3.7\,\mathrm{GeV}$ に比べて十分小さいので， $K=mv^2/2$ の非相対論近似でよい。相対論式を使っても差はこの有効数字では 現れない。

回路の典型ミス

帰還抵抗 $R_f$ とコンデンサー $C$ を並列にするのがローパスである。入力側 や帰還の直列に入れると伝達関数が変わり，低周波ゲイン 20 と $100\,\mathrm{Hz}$ 付近のカットオフを同時に満たせない。$1\,\mathrm{k\Omega}$ を 2 本並列に使う発想が抵抗 3 個制限の要点である。

グラフ改善の要点

理論式が指数関数なら，通常の $R$--$T$ グラフでは曲線の一致を目視しにくい。 $\log R$--$1/T$ プロットにすれば理論曲線は直線になり，傾きが $B$，切片が $\log R(\infty)$ になる。摂氏温度のまま逆数を取らないことも重要である。