東工大 理学院 物理学系 物理学コース 物理 2020年度 院試 解答例・解説

方針

中心力では角運動量保存により $\phi$ の運動を消去でき，動径方向の1次元運動として扱える。有効ポテンシャルの遠心力項 $L^2/(2mr^2)$ と重力項 $-GMm/r$ を正しい符号で書くことがこの問題の中心である。

遠日点で円軌道へ移る計算

遠日点で瞬間的に加速するので，その瞬間の位置 $r_2$ は変わらない。円軌道に入った後は，円軌道の一般式 $$E_{\mathrm{circ}}=-\frac{GMm}{2r_{\mathrm{circ}}}$$ を使えばよい。ここで $r_{\mathrm{circ}}$ は修正前楕円の遠日点半径であり，エネルギー方程式 $E_1=U_1(r)$ の大きい方の根で決まる。

有効ポテンシャルの概形

$$U_i(r)=\frac{L_i^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}\qquad (i=1,2)$$ はいずれも $r\to0$ で $+\infty$, $r\to\infty$ で $0^-$ に近づく。円軌道では極小点で全エネルギーに接する。

検算

束縛楕円では $E_1<0$ なので $a=-GMm/(2E_1)>0$ となる。また円軌道の式により $E_2<0$ である。遠日点で加速して円軌道へ移る場合，楕円の遠日点速度は同半径の円軌道速度より小さいため，エネルギーは増加し，通常 $E_2>E_1$ となる。

典型ミス

$\dot\phi=L/(mr^2)$ を使った後，遠心力項を $L^2/(mr^3)$ ではなく $L^2/(2mr^2)$ の微分から出すことに注意する。また遠日点半径は2次方程式の大きい方の根であり，符号選択を誤ると近日点を使ってしまう。

空洞問題の見方

空洞は「電荷を取り除いた領域」なので，正の一様帯電球に負の一様帯電球を重ねるのが最短である。空洞内では2つの一様球の内部電場を引き算するため，点 $(x,y,z)$ への依存が消え，一様電場だけが残る。

エネルギー積分の注意

一様帯電球のエネルギーでは外部空間の電場エネルギーも含める。内部だけを積分すると全エネルギーの一部しか得られない。空洞の設問では「空洞内部」のエネルギーなので，空洞体積だけを積分する。

誘電体球殻の概形

電束密度は自由電荷だけで決まるため $r>a$ で同じ $1/r^2$ 型である。一方，電場は媒質の誘電率で割るので，誘電体領域だけ小さくなる。

試験で書くべきポイント

分極面電荷の符号は法線の向きで決まる。内側面の外向き法線は原点向きであるため，$\sigma_{\mathrm{pol}}$ は負になる。ここを「原点に近い面だから負」と言葉だけで済ませず，$\sigma=\boldsymbol P\cdot\boldsymbol n$ と書くと答案として強い。

撃力の物理

$\delta(t)$ 型の外力は位置を瞬間的には変えず，運動量だけを $$\Delta p=F_0$$ だけ変える。したがって $\Delta\dot x=F_0/m$ である。これは古典力学の力積と同じ内容で，演算子方程式でもそのまま成り立つ。

演算子のずれ

撃力後の $\hat b,\hat b^\dagger$ は，撃力前の $\hat a,\hat a^\dagger$ から純虚数だけ平行移動した形になる。このずれが $t>0$ の平均位置 $$\frac{F_0}{m\omega}\sin\omega t$$ を生む。一方，数演算子状態の量子ゆらぎは平行移動では変わらない。

検算

$\hat x_H(t)$ の追加項は長さの次元をもつ。実際， $$\frac{F_0}{m\omega}$$ は $(\text{運動量})/(\text{質量}\times\text{角振動数})$ で長さである。さらに $t=0$ で追加項は0，時間微分は $F_0/m$ となり，境界条件と一致する。

典型ミス

ハミルトニアンではラグランジアンの $+F(t)x$ が $-F(t)x$ になる。ここを誤ると速度の跳びの符号が逆になる。また，$\langle x^2\rangle-\langle x\rangle^2$ を求める設問では，撃力で生じる平均変位を必ず差し引く。

行列多項式の処理

$\Phi(A)$ を直接計算してもよいが，特性多項式を正しく求めた後はケイリー・ハミルトンの定理で $$A^3=6A^2-11A+6I$$ として高次の $A$ を落とすのが速い。第3問の $f(A)$ も同じ発想で，まず多項式を $\Phi(\lambda)$ で割った余りに直す。

固有ベクトルの検算

固有値 $\lambda=1,2,3$ の和は $\operatorname{tr}A=6$，積は $\det A=6$ と一致する。固有ベクトルは規格化だけでなく，第1成分が非負という指定も忘れない。

畳み込み

$$\int_0^t e^{t-\tau}f(\tau)\,d\tau$$ は核 $e^t$ との畳み込みである。したがってラプラス変換は積になり，$1/(s-1)$ が掛かる。ここで $e^{-\tau}$ ではなく $e^{t-\tau}$ である点を見落とすと分母を $s+1$ にしてしまう。

解の確認

求めた $h(t)$ を用いると，畳み込み項のラプラス変換は $H(s)/(s-1)$ であり， $$H(s)-\frac{H(s)}{s-1} =\frac{5s}{s^2+1}$$ が戻る。初期条件が別途与えられていない積分方程式なので，ラプラス変換だけで一意に決まる。

古典極限の意味

古典論では各2次形式の自由度が平均エネルギー $k_{\mathrm B}T/2$ を持つ。1原子あたり運動量3成分と変位3成分で合計6個の2次自由度があるため，平均エネルギーは $3k_{\mathrm B}T$，比熱は $3k_{\mathrm B}$ になる。これはデュロン・プティ則である。

量子比熱の概形

量子論では低温で励起に必要なエネルギー $\hbar\omega$ を熱的に供給できないため，比熱は指数関数的に小さくなる。高温では準位間隔が $k_{\mathrm B}T$ に比べて小さく見え，古典結果へ戻る。

異方性がある場合

$\Omega\gg\omega$ なら，温度を上げるにつれてまず $x,y$ 方向の2自由度が励起され，比熱は一時的に $2Nk_{\mathrm B}$ に近づく。さらに高温で $z$ 方向も励起されると最終的に $3Nk_{\mathrm B}$ へ近づく。

典型ミス

零点エネルギーは分配関数や平均エネルギーには現れるが，比熱では温度微分により消える。低温比熱で $\exp[-\hbar\omega/(k_{\mathrm B}T)]$ を落とすと，量子凍結の本質を失う。

波長域の整理

波長が短い順に，$\gamma$ 線，X線，紫外線，可視光，赤外線，マイクロ波，ラジオ波と並ぶ。核準位の遷移はエネルギーが大きいため $\gamma$ 線，外殻電子の遷移は原子・分子の光学遷移なので可視光または紫外・赤外の領域になる。設問の選択肢の中では可視光が最も標準的である。

光電子増倍管の役割分担

カソードは光を電子へ変換する段階，ダイノードは電子数を増やす段階，アノードは電荷を集めて外部回路へ渡す段階である。名称だけでなく「光電効果」「二次電子放出」「収集」を書くと物理過程が明確になる。

電圧波形の符号とスケール

アノードに電子が到達するとアノード側に負電荷が入るため，単純な容量モデルでは負パルスになる。大きさは $10^7e/C$，戻りの速さは $RC$ で決まる。問題で与えられた $1\ \mathrm{ns}$ は電子群の到着幅，$10\ \mathrm{ns}$ は読み出し回路の緩和時間であり，混同しない。

半導体検出器でエネルギー分析できる理由

$\gamma$ 線では1光子のエネルギーが十分大きく，多数の電子正孔対を作る。平均生成エネルギーがほぼ一定なので，総電荷量から入射エネルギーを測れる。可視光の1光子検出では，主に「来たかどうか」を測っており，1光子エネルギーの差を電荷量として分解する構造ではない。