東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2024年度 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

本問は，単位正方形上の二重積分を，幾何級数展開と変数変換の二通りで評価し，最後に級数和へ戻す構成である。 積分と級数をつなぐ部分，および領域分割で係数が変わる部分を明示する。

まず $$\frac{1}{1-xy}=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k \qquad (0\le x,y<1)$$ を用いると，単調収束定理により積分と和を交換できる。したがって $$I =\sum_{k=0}^{\infty} \left(\int_0^1 x^k\,dx\right) \left(\int_0^1 y^k\,dy\right) =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+1)^2}.$$ 問題の添字を $n=1,2,\ldots$ とすれば，第 $n$ 項は $$a_n=\frac{1}{n^2}$$ である。

次に $$x=u-v,\qquad y=u+v$$ とおく。Jacobian は $$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \left|\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right|=2$$ であり，分母は $$1-xy=1-(u-v)(u+v)=1-u^2+v^2.$$ 領域 $0\le x,y\le 1$ は $$0\le u\le 1,\qquad -m(u)\le v\le m(u), \quad m(u)=\min\{u,1-u\}$$ で表される。被積分関数は $v$ について偶関数なので $$I=\int_0^{1/2}\int_0^u \frac{4}{1-u^2+v^2}\,dv\,du +\int_{1/2}^{1}\int_0^{1-u}\frac{4}{1-u^2+v^2}\,dv\,du.$$ よって分割表示に入る量は $$A_1=0,\quad B_1=\frac12,\quad C_1(u)=u, \qquad A_2=\frac12,\quad B_2=1,\quad C_2(u)=1-u,\quad D=4.$$

第1部分は $u=\sin\theta$ とおくと $$I_1 =4\int_0^{1/2}\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \arctan\frac{u}{\sqrt{1-u^2}}\,du =4\int_0^{\pi/6}\theta\,d\theta =\frac{\pi^2}{18}.$$ 第2部分は $u=\cos\theta$ とおく。$u$ が $1/2$ から $1$ へ動くと，$\theta$ は $\pi/3$ から $0$ へ動く。また $$\frac{1-u}{\sqrt{1-u^2}} =\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta} =\tan\frac{\theta}{2}.$$ したがって $$I_2 =4\int_0^{\pi/3}\frac{\theta}{2}\,d\theta =\frac{\pi^2}{9}.$$ 以上から $$I=I_1+I_2=\frac{\pi^2}{18}+\frac{\pi^2}{9} =\frac{\pi^2}{6}.$$