東京科学大 工学院 情報通信系 情報通信 2024年度 院試 解答例・解説

領域変換の見方

$x=u-v,\ y=u+v$ は正方形を $u$-$v$ 平面上のひし形領域へ移す。内側積分の上端が $u$ と $1-u$ に分かれるのは，ひし形の幅が $u=1/2$ を境に増加から減少へ変わるためである。Jacobian の $2$ と，偶関数性により半分の領域だけ積分する係数 $2$ を掛け合わせて $D=4$ になる点が落としやすい。

級数和への帰着

この問題の狙いは，Basel 和を二重積分から導くことである。単に $\sum 1/n^2=\pi^2/6$ を既知として書くのではなく，変数変換で $I_1$ と $I_2$ を評価してから和を結論する構成にすると，設問全体が一つの証明としてつながる。

列空間への射影

解を持たない連立方程式を最小限に補正する問題は，「右辺を列空間へ直交射影する」問題として処理するのが最も確実である。対称行列なので固有空間が直交し，列空間は非零固有値に対応する固有空間そのものになる。

最小ノルム解

補正後方程式の解は一意ではない。零空間方向 $(1,1,0)$ と $(0,0,1)$ を足しても $Az$ は変わらないためである。最小ノルム解は列空間方向だけに残るので，$x-y=1/2$ の制約下で $x^2+y^2+z_3^2$ を最小化して $x=1/4,\ y=-1/4,\ z_3=0$ を得る。

採点されやすい構成

論述答案は，知識の羅列ではなく，問いの二点に明確に対応させる必要がある。前半では「何を選ぶか」「なぜ重要か」「どういう仕組みか」を書き，後半では「何が未解決か」「なぜ難しいか」「どう解くか」を書くと，設問要求に対する対応が見えやすい。

図表の扱い

公式問題では図または表を答案に含めることが求められている。図表は大きく描けばよいわけではなく，本文の論理を補助する役割に絞る。上の答案例では，通信システムの流れを簡単なブロック図で示し，低遅延・高信頼通信の制約を表で整理した。これにより，抽象的な議論だけでなく，実装上の論点も押さえていることを示せる。