広島大 先進理工系科学研究科 物理学プログラム 物理 2024年度 一般A 院試 解答例・解説

座標設定の要点

この問題で最初に落としやすいのは $y$ 軸の向きである。通常の上向き $y$ 軸を採っているため， 鉛直下向きにあるおもりの $y$ 座標は負になる。したがって $y_1=-\ell\cos\theta_1$, $y_2=-\ell(\cos\theta_1+\cos\theta_2)$ であり， ポテンシャルエネルギーは $mgy$ をそのまま使うと負の値から出発する。符号をここで誤ると， 微小振動の復元力項の符号が逆になってしまう。

ラグランジアンの検算

$v_2^2$ には交差項 $$2\ell^2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)$$ が入る。これは第2のおもりが第1の棒の回転と第2の棒の回転の両方で動くためである。 $\theta_1=\theta_2$ の瞬間には2つの速度方向がそろうので交差項は正になり， $\theta_1-\theta_2=\pi$ なら逆向きになる。この物理的確認で $\cos(\theta_1-\theta_2)$ の形をチェックできる。

微小振動近似で捨てる項

$\dot{\theta}_2^2\sin(\theta_1-\theta_2)$ や $\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)$ は，速度の二乗と角度の積で三次の微小量である。 一方，$\ddot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)$ の $\cos$ は $1$ に置き換えてよい。 試験答案では「小さいから」だけでなく，どの次数まで残すのかを書くと減点されにくい。

基準振動の読み方

低い振動数では $A_2/A_1>0$ で2本の棒が同じ側へ倒れる。全体が大きな単振り子のように動くため， 復元力に対して慣性が大きく，振動数が低い。高い振動数では $A_2/A_1<0$ で折れ曲がるように動き， 相対運動が大きいので振動数が高い。この直感と $\omega_1>\omega_2$ が一致することも検算になる。

円筒対称性の使いどころ

導体が十分長く端の効果を無視できるので，$\Phi$ は $r$ だけに依存する。したがって 円柱座標のラプラス方程式は一次元の式になり，解は $A\ln r+B$ で決まる。 同軸円筒で $\ln(b/a)$ が現れるのは，電場が $1/r$ 型になるためである。

誘電体挿入後の見方

誘電体は $z$ 方向に途中まで入っている。電場は半径方向で，導体間の電位差はどの $z$ 断面でも同じ $V$ に固定されている。したがって $z$ 方向に直列ではなく，長さ方向に並列な容量の和として扱う。 ここを直列合成にすると，容量の変化の符号や大きさが合わなくなる。

電池の仕事と静電エネルギー

電圧一定では，容量が増えると静電エネルギー $\frac{1}{2}CV^2$ も増える。ただし電池はそれより大きい $V\,dQ=V^2dC$ の仕事をしている。差の $\frac{1}{2}V^2dC$ が誘電体を引き込む力の仕事になる。 固定電荷の場合のエネルギー減少から力を求める方法と混同しないことが重要である。

次元と符号の確認

$\varepsilon>\varepsilon_0$ なので $C'>C$，$\Delta U>0$，$W>0$ である。 力 $$F=\frac{\pi(\varepsilon-\varepsilon_0)V^2}{\ln(b/a)}$$ は正で，誘電体をさらに円筒内へ引き込む向きに働く。単位も $\varepsilon V^2$ が $J/m$ となり，力の次元に一致する。

境界条件が量子数を決める

無限井戸では，壁の外へ波動関数が染み出せないだけでなく，壁の位置で波動関数そのものが ゼロになる。したがって $\cos kx$ 成分は $x=0$ で消えず不適であり，$\sin kx$ のみが残る。 $kL=n\pi$ という条件がエネルギー量子化の本体である。

期待値の対称性

$|\varphi_n(x)|^2$ は常に井戸の中心 $L/2$ に関して対称であるため， $\langle x\rangle=L/2$ は積分を最後まで行わなくても予想できる。 ただし答案では，対称性だけで済ませる場合も「確率密度が中心対称である」ことを明記する。 $\langle x^2\rangle$ は中心対称性だけでは出ないので，三角関数の二乗を展開して計算する。

確率密度図の採点点

図示では波動関数 $\varphi_n$ ではなく，確率密度 $|\varphi_n|^2$ を描く。 第一励起状態では中央 $x=L/2$ が節であり，ここが極小になる。 符号の反転を確率密度に描いてしまうのは典型的な誤答である。

縮退度の数え方

三次元井戸ではエネルギーが量子数の二乗和で決まる。立方体なら $(2,1,1)$ の $2$ をどの軸に置くかで3通りあり，これが縮退である。 一方，$x$ 方向だけ幅を半分にすると $x$ 方向の寄与が4倍になり， $(2,1,1)$ は第一励起ではなくなる。形状の対称性が縮退を決めている，という見方が有効である。

位相空間の割り算

$h^{3N}$ は古典的な連続位相空間の体積を状態数に直すための規格化である。 これがないと分配関数が次元を持ってしまう。さらに同種粒子では，粒子番号を入れ替えても 物理的には同じ配置であるため $N!$ で割る。この因子を落とすとエントロピーが示量的にならず， Gibbs のパラドックスにつながる。

積分計算の構造

理想気体では相互作用がなく，ハミルトニアンは各運動量成分の二乗和で分離する。 そのため $3N$ 個の同じガウス積分が現れる。位置積分は箱の中で一様なので単に $V^N$ であり， ここから圧力の $V$ 依存性が出る。

自由エネルギーからの状態方程式

状態方程式を出すには，$F$ のうち $V$ に依存する部分だけを見ればよい。 $$F=-Nk_{\mathrm B}T\ln V+C(T,N)$$ であり，$C(T,N)$ は $V$ に依存しない。なので，すぐに $P=Nk_{\mathrm B}T/V$ と分かる。 試験では $L^3$ と書かれていても，最終的には体積 $V$ で微分する点を明確にする。

平均運動エネルギーの確認

結果 $U/N=3k_{\mathrm B}T/2$ は，三つの二次形式 $p_x^2/(2m),p_y^2/(2m),p_z^2/(2m)$ がそれぞれ $k_{\mathrm B}T/2$ を持つという等分配則と一致する。 微分で得た答えと等分配則が一致することは，温度依存性の扱いの良い検算である。