広島大 先進理工系科学研究科 物理学プログラム 物理 2021年度 一般A 院試 解答例・解説

実験室系と重心系を混ぜない

実験室系では標的粒子Bが最初静止しているため、エネルギー保存式と運動量保存式の見た目が非対称になる。一方、重心系では全運動量がゼロなので、衝突前後で二粒子の速度は常に反対向きである。この対称性を使うと、重心系で速度の大きさが保存することがすぐ分かる。

角度の式の検算

関係式 $$\tan\theta_A=\frac{m_B\sin\phi_A}{m_A+m_B\cos\phi_A}$$ は、重い標的 $m_B\gg m_A$ では $\theta_A\simeq\phi_A$ となる。標的がほぼ固定壁のように見えるため、実験室系と重心系の差が小さいという物理像と合う。等質量では $\theta_A=\phi_A/2$ となり、標的静止の弾性衝突で散乱後速度が直交する事実とも整合する。

エネルギー移行の典型ミス

粒子Bの実験室系速度は、重心速度と重心系速度のベクトル和である。大きさだけを足してはいけない。特に $(1-\cos\phi_B)^2+\sin^2\phi_B=4\sin^2(\phi_B/2)$ を出せるかが山場である。答案では質量因子が $$\frac{4m_Am_B}{(m_A+m_B)^2}\le 1$$ であることまで書くと、最大条件の議論が明確になる。

磁場は導線電流ではなく変位電流から出す

極板の間には導線電流は流れないが、電場が時間変化するため変位電流が存在する。ここで $$\boldsymbol j_{\mathrm{d}}=\partial\boldsymbol D/\partial t$$ を使わずに通常の導線電流だけで考えると、極板間の磁場を説明できない。マクスウェル補正の意味を問う典型問題である。

ポインティングベクトルの向き

電場は極板に垂直、磁場は円周方向である。したがってエネルギー流は半径方向になる。充電中に $V\dot V>0$ なら $\boldsymbol S$ は $-\boldsymbol e_r$ 方向、すなわち側面からコンデンサー内部へ向く。エネルギーは導線に沿って極板中央へ直接入るのではなく、電磁場として周囲から流れ込むという点が重要である。

検算

側面流束の大きさは $$\frac{\varepsilon a}{2d^2}V\dot V\cdot 2\pi ad =\frac{\varepsilon\pi a^2}{d}V\dot V =\frac{d}{dt}\left(\frac12CV^2\right)$$ となり、蓄積エネルギーの時間変化と一致する。係数 $1/2$ を落とすとこの検算で破綻するので、答案では最後に必ず確認したい。

中心を原点に取った井戸の形

通常の $0<x<a$ の井戸では $\sin(n\pi x/a)$ だけで書くことが多いが、今回は井戸が原点対称である。偶関数と奇関数に分けると、期待値計算で対称性をそのまま使える。特に基底状態が偶関数、第一励起状態が奇関数であることが、$\langle x\rangle$ の非自明な振動を生む。

期待値が時間変化する理由

エネルギー固有状態だけなら位置期待値は時間に依存しない。ここでは異なるエネルギーの二状態を重ねているため、相対位相 $\exp[-i(E_2-E_1)t/\hbar]$ が時間変化し、交差項が振動する。これは二準位系のビートと同じ構造である。

典型ミス

$\langle1|x|1\rangle$ や $\langle2|x|2\rangle$ を積分で無理に計算する必要はない。奇偶性でゼロと分かる。また、$\langle1|x|2\rangle$ の被積分関数は偶関数なので、積分範囲を半分にして係数2を掛ける。この係数を忘れると最終係数が半分になる。

位相空間面積の意味

調和振動子の等エネルギー曲線は位相空間で楕円になる。面積が $2\pi\varepsilon/\omega$ となることは、エネルギーが増えるほど状態数が線形に増えることを表す。古典分配関数で $1/h$ を掛けるのは、位相空間面積を量子状態数に対応させるためである。

古典極限の見方

量子的な分配関数 $$Z_{\mathrm{q}}=\frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)}$$ は低温では零点エネルギーと離散準位を反映する。一方、高温では $\sinh x\simeq x$ より $$Z_{\mathrm{q}}\simeq \frac{1}{\beta\hbar\omega}$$ となり、古典結果に一致する。答案では「高温極限」または「準位間隔が熱エネルギーに比べて小さい極限」と言葉で説明するとよい。

多粒子化での注意

ここでの $N$ 個は格子振動子や独立モードのように区別できる独立振動子として扱うのが自然である。そのため $1/N!$ は入れない。理想気体の粒子の並進自由度のような不可識別粒子の分配関数と混同しないことが重要である。