広島大 先進理工系科学研究科 物理学プログラム 物理 2021年度 一般A 院試 過去問 解答例・解説（全4問）

実験室系で、入射方向を $x$ 軸正方向に取る。衝突後の粒子A, B の速度を $$\boldsymbol v_A'=v_A'(\cos\theta_A\,\boldsymbol e_x+\sin\theta_A\,\boldsymbol e_y),\qquad \boldsymbol v_B'=v_B'(\cos\theta_B\,\boldsymbol e_x-\sin\theta_B\,\boldsymbol e_y)$$ と書く。弾性衝突なので、実験室系では $$\frac12m_Av_A^2=\frac12m_A{v_A'}^2+\frac12m_B{v_B'}^2$$ であり、運動量保存は $$m_Av_A=m_Av_A'\cos\theta_A+m_Bv_B'\cos\theta_B,\qquad 0=m_Av_A'\sin\theta_A-m_Bv_B'\sin\theta_B$$ である。

運動量保存式を二乗して、二つの散乱後速度のなす角が $\theta_A+\theta_B$ であることを用いると $$m_A^2v_A^2=m_A^2{v_A'}^2+m_B^2{v_B'}^2 +2m_Am_Bv_A'v_B'\cos(\theta_A+\theta_B).$$ ここへエネルギー保存から得る $m_Av_A^2=m_A{v_A'}^2+m_B{v_B'}^2$ を代入して整理すれば $$\boxed{\,2m_Av_A'\cos(\theta_A+\theta_B)=(m_A-m_B)v_B'\,}$$ を得る。等質量なら、$v_A'\neq0$ の散乱では $\theta_A+\theta_B=\pi/2$ となる。

重心速度を $V_{\mathrm{cm}}$ とすると $$V_{\mathrm{cm}}=\frac{m_A}{m_A+m_B}v_A.$$ したがって重心系での衝突前の速度の大きさは $$V_A=\frac{m_B}{m_A+m_B}v_A,\qquad V_B=\frac{m_A}{m_A+m_B}v_A .$$ 重心系では全運動量が常にゼロで、弾性衝突では全運動エネルギーも保存するから $$V_A=V_A',\qquad V_B=V_B'$$ である。これは、重心系では速度ベクトルの向きだけが変わり、大きさは変わらないことを意味する。

粒子Aの重心系での散乱角を $\phi_A$ とすると、実験室系での粒子Aの散乱後速度は $$\boldsymbol v_A'=V_{\mathrm{cm}}\boldsymbol e_x+ V_A(\cos\phi_A\,\boldsymbol e_x+\sin\phi_A\,\boldsymbol e_y).$$ よって $$\tan\theta_A= \frac{V_A\sin\phi_A}{V_{\mathrm{cm}}+V_A\cos\phi_A} = \frac{m_B\sin\phi_A}{m_A+m_B\cos\phi_A}.$$ $$\boxed{\displaystyle \theta_A=\arctan\frac{m_B\sin\phi_A}{m_A+m_B\cos\phi_A}}$$ である。$m_A\ll m_B$ なら分母はほぼ $m_B\cos\phi_A$ なので $\theta_A\simeq \phi_A$ となる。一方、$m_A=m_B$ では $\tan\theta_A=\tan(\phi_A/2)$ となり、実験室系の角は重心系の半分になる。

粒子Bについては、重心系で衝突前に負の $x$ 方向へ進んでいるので、散乱後の重心系速度を $$\boldsymbol V_B'=V_B(-\cos\phi_B\,\boldsymbol e_x-\sin\phi_B\,\boldsymbol e_y)$$ と書ける。したがって $$\boldsymbol v_B'=V_{\mathrm{cm}}\boldsymbol e_x+\boldsymbol V_B', \qquad {v_B'}^2=V_B^2\{(1-\cos\phi_B)^2+\sin^2\phi_B\} =4V_B^2\sin^2\frac{\phi_B}{2}.$$ 初期の入射粒子Aの運動エネルギーを $T_A=\frac12m_Av_A^2$ とすれば $$\frac{T_B'}{T_A} = \frac{\frac12m_B{v_B'}^2}{\frac12m_Av_A^2} = \boxed{\displaystyle \frac{4m_Am_B}{(m_A+m_B)^2}\sin^2\frac{\phi_B}{2}} .$$ この比は $\phi_B=\pi$ で角度依存部分が最大になり、さらに質量因子 $4m_Am_B/(m_A+m_B)^2\le 1$ は $m_A=m_B$ で最大値1を取る。