広島大 先進理工系科学研究科 物理学プログラム 物理 2023年度 一般A 院試 解答例・解説

減衰振動の判定

判別式 $c^2-4mk$ の符号だけで運動の性質が決まる。 $c^2<4mk$ では根が複素数になり，指数減衰と三角関数が同時に現れる。 $c^2>4mk$ では根が負の実数2つになり，三角関数が出ない。ここで 「減衰しているから振動しない」と早合点すると不足であり，過減衰か不足減衰かを 判別式で明示する必要がある。

棒の扱い

棒は質量を持たないが，両端の質点は動くので，逆位相モードでは2質点の運動が 回転の慣性を作る。慣性モーメントを $2ma^2$ と置くと，端のばねによるトルク $-2ka^2\theta$ と直ちに対応し，$\omega_1=\sqrt{k/m}$ が出る。 一方，並進モードでは棒の中点 $X$ と中央質点 $x_3$ の2自由度に落とすのが最短である。

答案で落としやすい点

中央のばねの伸びは $x_3$ ではなく $x_3-(x_1+x_2)/2$ である。 ここを誤ると固有値が全てずれる。また，変位比は任意定数倍だけ不定なので， $(1,1,2)$ と $(1/2,1/2,1)$ は同じモードを表す。答案では角振動数だけでなく， どの質点が同相・逆相で動くかを言葉か図で添えると採点者に伝わりやすい。

軸上成分だけを積分する理由

円形コイルでは，各線素が作る磁場の横向き成分は，反対側の線素が作る横向き成分と 対になって打ち消し合う。したがって積分すべき量は $d\boldsymbol{B}$ の大きさそのもの ではなく，その $z$ 成分である。ここで $R\,d\ell$ が出るのは， $d\boldsymbol{\ell}\times\boldsymbol{r}$ の軸方向成分が円の半径 $R$ に比例するためである。

ヘルムホルツ配置の確認

中心間隔が $R$ のとき，各コイルから中央点までの距離は $R/2$ である。 ここを $R$ と置いてしまうと標準係数 $$\left(\frac45\right)^{3/2}=\frac{8}{5\sqrt5}$$ が出ない。係数を覚えていてもよいが，単位が $\mu_0I/R$ になっているかを確認すると計算ミスを見つけやすい。

一様性の説明

$B_{4z}(z)$ は $z$ の偶関数なので1次項は必ず消える。ヘルムホルツコイルの特徴は， 間隔を半径に等しくすることで2次項も消える点にある。したがって中心近傍の相対変化は $(z/R)^4$ の大きさまで抑えられる。答案では「対称だから一様」とだけ書くのでは不足で， 2次項が消えることまで示すと十分な説明になる。

符号の確認

電子の電荷は $-e$ なので，ハミルトニアンには $-i\hbar\nabla+e\boldsymbol{A}$ が現れる。また，問題の波動関数は $e^{-iky}$ であるため，$y$ 方向の運動量固有値は $+\hbar k$ ではなく $-\hbar k$ である。この2つの符号を同時に追うと，振動中心は $x_0=\hbar k/(eB)$ になる。

ランダウ準位として見る

$k$ は周期境界条件で量子化されるが，エネルギーには現れない。 $k$ が変わると，調和振動子の中心 $x_0$ が $x$ 方向へ移動するだけである。 この縮退がランダウ準位の特徴である。有限サイズで縮退数を数える問題では， $x_0$ が試料の内部に入る $k$ だけを数える。

規格化と幅の間違い

$\lambda$ は長さではなく長さの2乗の次元を持つ。 標準的な磁気長を $\ell_B^2=\hbar/(eB)$ と書けば，今回の表記では $\lambda=2\ell_B^2$ である。規格化では $|\phi|^2$ を積分するので， 指数の係数が2倍になる点にも注意する。

基本式の選び方

この問題の中心は $H$ を自然変数 $(S,p)$ で見ることである。 $dH=T\,dS+V\,dp$ を最初に作れば，定圧比熱，エントロピーの偏微分， Joule--Thomson 係数がすべて同じ流れで出る。途中で $dU=T\,dS-p\,dV$ と $dH$ を混同すると，$V\,dp$ の項を落としやすい。

混合偏微分の使い方

問われている $$\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T$$ の式は，Maxwell 関係そのものではなく，$S(T,p)$ の混合偏微分を等置して導く。 $1/T$ も $T$ の関数なので，右辺を $T$ で微分するときに $-(\partial H/\partial p)_T/T^2$ と $+V/T^2$ が出る。この2項を書かないと 符号が合わない。

多孔質栓の仕事の符号

左側では外部が気体を押すので，気体になされる仕事は正で $p_1V_1$。 右側では気体が外部を押しのけるので，気体になされる仕事は負で $-p_2V_2$。 断熱だから $Q=0$ であり，この正味仕事だけが内部エネルギー変化になる。 この符号を明記すれば，$U_1+p_1V_1=U_2+p_2V_2$ が自然に出る。

理想気体で温度が変わらない理由

理想気体では $V/T$ が定圧で一定なので， $T(\partial V/\partial T)_p-V=0$ となる。 これは理想気体のエンタルピーが温度だけの関数であることと同じ内容である。 実在気体ではこの差がゼロでないため，多孔質栓を通したときに冷却または加熱が起こり得る。