広島大 先進理工系科学研究科 物理学プログラム 物理 2022年度 一般A 院試 解答例・解説

符号の決め方

この振子は支点から上に伸びる倒立振子である。したがって $E_P=(mg\ell/2)\cos\theta$ は $\theta=0$ で最大になり，重力だけでは $\theta=0$ から外れる方向に動く。この符号を取り違えると，安定な普通の振子の式になってしまう。

運動エネルギーの構成

棒の運動エネルギーは，重心の並進エネルギーと重心まわりの回転エネルギーを足すのが最も安全である。 支点まわりの慣性モーメントだけを使うと，支点が加速している効果を落としやすい。混合項 $(m\ell/2)\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta$ は，棒の重心の水平速度に台車の速度と回転による速度が同時に入るために現れる。

線形化で残す項

小角近似では $\sin\theta\simeq\theta$，$\cos\theta\simeq1$ だが， $\dot{\theta}^2\sin\theta$ は $\theta$ と $\dot{\theta}$ の積を含む非線形項なので捨てる。 一方，$\ddot{\theta}$ は小さい角度そのものではないので捨ててはいけない。

試験で書くべきポイント

答案では，まず重心座標を書き，そこから速度を微分して $E_K$ を作る流れを示すと部分点を取りやすい。 最後の外力の議論では，単に「右へ押す」と書くだけでなく， $\ddot{\theta}=0$ となる条件 $F=(M+m)g\theta$ と，戻すには不等号をどちらにするかまで書くと物理的な判断が明確になる。

鏡像電荷法の役割

鏡像電荷は，計算したい領域の境界条件を満たすための仮想電荷であり，導体の内部や誘電体側に実在する電荷ではない。 導体の場合は，$z=0$ のポテンシャルを全ての $r$ で $0$ にするため，鏡像電荷の大きさが必ず $-q$ になる。

誘導電荷を積分する意味

導体面に誘起された電荷密度を積分すると $-q$ になる。これは，無限導体平板が点電荷から出る電束の下半分を受け止めることと対応している。 点 A の電場を積分で求めると鏡像電荷の結果と一致するので，表面電荷密度の符号と係数の良い検算になる。

仕事の半分を忘れない

電荷と導体の相互作用エネルギーは，単純な $q$ と $-q$ の二点電荷対のエネルギーではなく，その半分である。 ここでは力を積分しているので半分は自動的に入る。ポテンシャルエネルギーから求める場合は $U(z)=\frac12 q\phi_{\mathrm{image}}=-q^2/(16\pi\epsilon_0 z)$ と書くと安全である。

誘電体境界での典型ミス

境界条件は $E_z$ そのものの連続ではなく，$\epsilon E_z$ の連続である。 また，誘電体中の電場式には係数 $1/(4\pi\epsilon)$ が入る。ここを $1/(4\pi\epsilon_0)$ のままにすると， $Q''$ の係数が逆になりやすい。

昇降演算子の意味

$[\hat{L}_z,\hat{L}_\pm]=\pm\hbar\hat{L}_\pm$ は， $\hat{L}_\pm$ が $\hat{L}_z$ の固有値を $\pm\hbar$ だけ変えることを表している。 ただし，最上位・最下位では作用後のベクトルが零ベクトルになるため，無限に上げ下げできるわけではない。

範囲を決める決定打

固有値 $\mu$ の上限と下限は，規格化条件ではなくノルムの非負性から出る。 $\langle v|v\rangle$ と $\langle w|w\rangle$ の両方を使う必要があり，片方だけでは上限または下限の一方しか得られない。

縮退度の読み替え

通常の記法で $\lambda=j(j+1)\hbar^2$ と書けば $$g=2j+1$$ である。本問の式 $g=\sqrt{1+4\lambda/\hbar^2}$ はこれを $\lambda$ だけで表したものになっている。 縮退度 $2$ は $j=1/2$ に対応し，$2\pi$ 回転で状態ベクトルが $-1$ 倍される。

答案での注意

最後の位相は $\mu=+\hbar/2$ でも $-\hbar/2$ でも $-1$ になる。 $e^{-i2\pi\mu/\hbar}$ を書かずに「一周だから元に戻る」とすると，半整数角運動量の本質を落としてしまう。

分配関数の分解

この問題では，位置とスピンが磁場を通して結合しているが，運動量積分は通常の理想気体と同じである。 空間を $x<0$ と $x\ge0$ に分け，それぞれでスピン和を取ると，一粒子分配関数の因子 $1+\cosh b$ が自然に現れる。

密度が一様でない理由

仕切り板は粒子を止めないので，密度差は壁によるものではなく，右半分だけに磁場エネルギー $-\sigma\mu B$ があることによって生じる。$x\ge0$ では低エネルギースピンの重みが増えるため， 粒子数密度も $\cosh b$ 倍だけ大きくなる。

断熱消磁の符号

磁場を弱めると，スピンと位置の取り得る状態数が増え，そのままではエントロピーが増える。 断熱過程ではエントロピーを一定に保つ必要があるため，並進運動の温度を下げて熱的な状態数を減らす。 これが $dB<0$ で $dT<0$ になる物理的理由である。

典型ミス

$N!$ を忘れるとエントロピーの対数内が正しくならない。また，$\mu$ はボーア磁子であって化学ポテンシャルではない。 エントロピーを微分するときは $b=\mu B/(kT)$ が $T$ に依存するため， $\ln(1+\cosh b)$ の微分だけでなく，$-b\sinh b/(1+\cosh b)$ の項まで含めて扱う必要がある。