立教大学 理学研究科 数学専攻の院試過去問｜6回の出題と3題の選び方

立教大学大学院理学研究科の数学専攻（博士課程前期課程）を受ける人向けに、筆記試験「数学」の過去問を2024〜2026年度の夏季・春季6回分から読み解きます。どの回も9問が出題され、線形代数の[1][2]、微分積分の[3][4]、専門科目の[5]〜[9]から1題ずつ、計3題を選んで答えます。院試Hubの解答原稿で54問すべてを確かめ、群ごとの出題の傾向、3題の選び方、失点しやすい設問をまとめました。

問題は数学専攻の入試問題ページに、2023年度夏季から2027年度夏季までの9回分が載っています（2026年10月28日確認）。2026年度の2回は、大学本体の過去問題ページから大学の「出題の意図・解答例」も読めます。院試Hubは6回それぞれの[1]の解答を年度別ページで無料公開しています。次の試験は2027年2月24日の2027年度春季入試で、出願期間は1月12日から15日までです。

数学は120分で3題。英語と口頭試問が同じ日に続く

2027年度入試要項の一般入学試験の時間割（11ページ）では、数学が9時〜11時、英語が11時30分〜12時30分、口頭試問が15時からです。選考は筆記試験と口頭試問の成績を総合して行い、専門科目の試験は日本語で実施されます。

年度は入学年度を指します。夏季入試は前年の7月、春季入試は同じ年の2月に行われ、たとえば2026年度夏季は2025年7月13日、2026年度春季は2026年2月24日の試験です。

問題冊子の表紙にある選び方の指示は、2024年度夏季から2026年度春季までの6回とも同じでした。[1][2]から1題、[3][4]から1題、[5]〜[9]から1題を選びます。専門科目から2題を選んだり、線形代数を2題とも答えたりする形式はありません。表紙に試験時間の記載はないので、時間は要項で確かめます。120分で3題なので、1題あたりの平均は40分です。

2026年7月12日に実施された2027年度夏季の冊子も、同じ3題の選び方でした。この回の表紙には、選んだ問題の番号を解答用紙の左上に「[1]」の形で書くことと、裏面を使うときは表の所定の欄に〇印を付けることが加わっています。

英語の過去問も大学本体の過去問題ページにあり、2025年度春季はPDFで、2026年度の2回は問題と出題の意図・解答例がGoogleドライブで公開されています。要項には、TOEICなど外部英語試験のスコアを提出する指定はありません。

2027年度春季は2月24日。出願前に第1志望の教員と面談する

数学専攻の募集人員は5名で、夏季と春季を合わせた人数です（要項1ページ）。数学専攻が行うのは一般入試と社会人入試で、外国人入試は実施しません。2027年4月入学の夏季入試（2026年7月12日）は終わっており、残るのは春季入試です。

一般入試では、出願前に研究指導を希望する教員と連絡をとって面談します。数学専攻の相手は第1志望の教員で（要項3ページ）、面談はオンラインでもかまいません（要項6ページ）。研究計画書には第1志望の教員名を書き、第2志望があれば2人の名前を書きます（要項8ページ）。選考料は35,000円で、Web出願のクレジットカード決済で納めます（別に事務手数料1,500円）。

社会人入試は、関連分野の専門教育を受け、志望する専攻の分野に関わる職に2年以上勤めた経験がある人の区分です。筆記試験は英語だけで、数学の筆記はありません。受験資格審査の書類と流れは社会人入試の条件と出願前の審査で説明しています。

夏季入試には、学内受験者の筆記試験免除制度があります（要項11ページの注）。大学の2026年度入試結果では、数学専攻の一般入試は夏季が志願者7名・合格者3名、春季が志願者4名・合格者1名でした。学外からの志願者は夏季2名・春季3名で、合格者は夏季の1名です。同じ資料の注記によると、夏季入試の学内の筆記試験免除者は、数学で志願者2名・合格者2名でした。要項にも入試結果にも、科目ごとの配点や合格最低点は載っていません。

6回54問の出題テーマ

院試Hubの解答原稿の見出しから、各問のテーマを短くまとめました。どの選択にも対応できるよう、販売PDFは各回9問すべてを収録しています。[1]のリンク先では、その回の[1]の解答を無料で読めます。

必須の2群：線形代数[1][2]と微分積分[3][4]

専門科目[5]〜[9]

群ごとの傾向：固有値、定義に戻る証明、ガロア群と留数

線形代数[1][2]

12問のうち11問が固有値・固有ベクトルを扱い、対角化できるかを問う設問は6回中5回に出ました。2024年度夏季[1]と2026年度春季[1]は、対角化できない場合のジョルダン標準形まで求めます。2024年度夏季[1]、2025年度夏季[1]、2025年度春季[2]、2026年度夏季[1]、2026年度春季[1]はパラメータを含み、特別な値で答えが変わる構成です。

[1]は具体的な行列の計算、[2]は条件から行列の性質を示す証明が多くなっています。2024年度夏季[2]（3つの1次因子の積が零）、2025年度夏季[2]（A⁴=E）、2026年度夏季[2]（A²=A）、2026年度春季[2]（可換な2つの行列）は、どれも与えられた等式（零になる多項式や可換性）から固有値や固有空間の性質を導く問題です。2024年度春季は2題とも行列の積を扱う問題で、[1]が写像X↦AX−XBの固有ベクトル、[2]がᵗAAとAᵗAの固有値から3×4行列を作る問題でした。

微分積分[3][4]

2024年度夏季・2025年度春季・2026年度夏季・2026年度春季の4回は、[3]が定義や定理から示す証明、[4]が計算中心という組み合わせでした。[3]には一様連続性（2024年度夏季）、絶対収束と広義積分（2025年度春季）、逆関数定理（2026年度夏季）、ε-N論法によるチェザロ平均（2026年度春季）が出ています。残る2回は、2024年度春季が[3]で2変数の極限と広義重積分、[4]で場合分けした関数の微分可能性、2025年度夏季が[3]でマクローリン展開、[4]で一様収束を扱いました。

2変数の問題は、2024年度春季[3]（極限と広義重積分）、2025年度春季[4]（極座標による重積分）、2026年度夏季[4]（停留点とヘッセ行列）の3題です。1変数の関数の微分可能性やテイラー展開を使う問題は、2024年度夏季[4]、2024年度春季[4]、2025年度夏季[3]にあります。

専門科目[5]〜[9]

30問の内訳は代数11問、複素解析7問、位相6問、幾何5問、線形代数1問です。番号の割り当てはほぼ決まっており、[5][6]が代数、[7][8]が幾何と位相、[9]が複素解析でした。例外は、短完全列を扱う線形代数だった2024年度夏季[5]と、幾何がなく[8]も複素解析だった2025年度春季です。

6回すべてに、体の拡大とガロア群の問題があります。題材は円分体（2024年度夏季[6]の5次、2025年度夏季[6]の7次）、3次多項式の分解体（2024年度春季[5]、2026年度春季[6]）、有限体の拡大（2025年度春季[5]、2026年度夏季[6]）の3種類です。位相も6回すべてに出ており、そのうち5回は距離空間の問題でした。異なる成分の個数で測るハミング距離は、2025年度春季[7]と2026年度夏季[8]に続けて出ています。

[9]は毎回、閉じた積分路で複素積分を計算する問題で、6回中5回は留数を使います。2026年度春季は、積分路の内部に極がない形でした。正方形や長方形の積分路をとり、辺の上の積分が0に近づくことを評価して級数や広義積分の値を出す形は、2024年度夏季、2026年度夏季、2026年度春季の3回ありました。幾何は、回転面のガウス曲率（2026年度夏季[7]、2026年度春季[8]）、双曲面と直線族（2024年度春季[8]、2025年度夏季[8]）、上半平面の双曲計量（2024年度夏季[7]）です。

選び方と最初の一手、失点しやすい箇所

試験が始まったら、9問の設問をすべて読んでから3題を決めます。各問は2〜5個の設問に分かれ、前の設問の結果を後で使う構成が多いため、最後の設問まで方針が立つかで選びます。以下の例は、院試Hubの解答原稿で失点しやすい点として扱った箇所です。

線形代数：対角化は固有空間の次元で判定する

2025年度春季[1]は、固有値1の重複度が2なのに固有空間が1次元なので、対角化できません。「固有値が4個そろわないから対角化できない」という理由は誤りで、重複していても固有空間が十分大きければ対角化できます。2026年度夏季[2]のA²=Aでは、固有値が0と1しかないことだけでは対角化できる根拠になりません。2つの固有空間の次元の和が行列の次数に等しいことまで示します。

パラメータを含む問題では、計算を軽くする形を最初に探します。2024年度夏季[1]は対角成分がすべて1なので、t=1−λと置くと固有多項式がすぐに因数分解でき、パラメータの特別な値も読み取れます。2026年度春季[1]は第1列の形から、行列式を展開せずに固有値が出ます。2025年度夏季[1]は表現行列が上三角になるので、固有値は対角成分から読め、調べるのは重複する固有値の固有空間だけです。2025年度春季[2]は与えられた3本のベクトルが正規直交系なので、逆行列は転置で済みます。対角化の判定も、成分の簡単な表現行列の側で行えます。

対角化できない行列の累乗は、ジョルダン細胞の累乗の形を使います。2026年度春季[1]の設問4では、右上の成分をn·2ⁿとする誤りを原稿で注意しています。

証明型の[2]では、2024年度夏季[2]が、2つの因子の積で写した0でないベクトルが、残る因子の固有値に属する固有ベクトルになることを示す問題でした。設問の流れに沿って、使わなかった因子の固有値が現れることを確かめます。2024年度春季[2]では、ᵗAAの対角成分が列ベクトルの長さの2乗であることを使います。長さを答えるときは平方根をとります。

微分積分：量化子の順序と、展開を何次まで残すか

[3]の証明では、量化子の順序を答案に書けるかが問われます。2024年度夏季[3]でx²が一様連続でないことを示すときは、任意のδを先に固定し、その後でx、yを選びます。2026年度春季[3]のチェザロ平均でも、Nを固定してからnを大きくします。同じ問題の設問3は重みの和が1にならない点がひとひねりで、極限をそのまま元の数列の極限とすると誤りになります。設問2で重みの和を先に求めさせているのはこのためです。2025年度春季[3]は、設問1・2で作った「絶対収束すれば収束する」という道具を、設問3の不等式と合わせて設問4で使います。前の設問を飛ばすと最後まで届かない構成です。

計算問題では、展開を何次まで残すかで答えが変わります。2024年度春季[4]でx=0での微分可能性を調べると、差分商の分母はh(1−cos h)でhの3乗程度の大きさになります。hを掛け忘れると極限が0になり、誤ったパラメータが出ます。2025年度夏季[3]で(1+x)の1/x乗を2次まで展開するときは、指数関数で書き直し、u²/2の項まで残します。2024年度夏季[4]は、x=0で微分可能になる指数sの範囲と、導関数がx=0で連続になる範囲を別々に求める問題で、2つの範囲は一致しません。x=0での微分係数と、導関数のx→0での極限を区別して書きます。

一様収束の判定は、差の上限を実際に計算します。

2025年度夏季[4]は、区間[0,2]では差の上限がnによらない正の値にとどまり、一様収束しません。区間[1,2]では上限が0に近づきます。設問4では、この一様収束を根拠に極限と積分の順序を入れ替えます。2変数では、2026年度夏季[4]で原点のヘッセ行列の行列式が0になり、2階の判定法が使えません。原点の近くで関数の値の符号を直接調べます。2025年度春季[4]でy≥xの半円板を極座標で表すときは、角度の範囲をπ/4から5π/4にとります。

専門科目：最後の設問まで方針が立つ1題を選ぶ

ガロア群の問題は、既約性、拡大次数、ガロア群、中間体や最小多項式の順に進むことが多く、途中の結果を次の設問で使います。2024年度春季[5]では、既約な3次多項式のガロア群をS₃と決めるために、実根が1つだけで複素共役が互換になることを使います。既約性だけでは、A₃の可能性が残ります。2025年度夏季[6]の設問4は、7次円分体Lの2次部分体K上での最小多項式を求めるので、根になる共役はGal(L/K)で移る3個です。2026年度夏季[6]は、元の個数が2ˢの体の乗法群の位数を2ˢ−1とすることと、中間体の個数に両端の体を含めるかどうかを答案に明記します。

位相の6問のうち4問は、与えられた関数が距離の公理を満たすことを示す設問から始まります。設問数は2〜4個と少なめですが、定義の書き方で差がつきます。2025年度春季[7]では、どの距離空間でも成り立つ「1点集合は閉集合」と、離散位相に特有の「1点集合は開集合」を区別します。2026年度夏季[8]のハミング距離では、各成分が0に近づく点列でも距離は一定のままなので収束しません。2024年度夏季[8]は逆に、高さ1の三角形の山が残る関数列でも、L¹型の距離（面積）では0に近づきます。どの距離で収束を考えているかを、答案の最初に書きます。

複素解析の[9]の多くは、極と留数の計算、積分路の辺や弧の上の評価、最後の整理という順に進みます（評価の設問は6回中4回）。失点しやすいのは最後の整理です。2024年度夏季[9]は求める級数がn=1から始まるので、初項を除いてから答えます。2025年度春季[9]では、関数に付いた定数を最後に割り忘れないようにします。2026年度春季[9]は長方形の上の辺を逆向きにたどるので、符号が変わります。2025年度夏季[9]の三角関数の積分は、cos 2θを2倍角の公式で展開せず、z²+z⁻²の形のまま置換すると計算が短くなります。

幾何は、第一基本量E、F、Gを計算してガウス曲率や長さ・面積を求める流れです。2026年度春季[8]では、2つの曲面のガウス曲率が対応する点で一致しても、第一基本形式が違うので等長写像にはなりません。2024年度夏季[7]の上半平面では、面積要素がdxdy/y²になることを第一基本量から確かめます。

練習の進め方と参考書

最初は6回分を本番と同じ120分で解きます。たとえば最初の10分で9問の設問を読んで3題を決め、残りの110分で3題を書き上げます。終わったら、選ばなかった6問のうち1〜2問も解き、別の選び方をした場合の出来を確かめます。得意な分野の問題が難しい回に当たっても、同じ群の別の問題で答えられるようにするためです。

群ごとに、過去問で繰り返し出た論点から復習します。

• 線形代数：固有空間の次元と対角化、ジョルダン標準形と累乗、最小多項式を使う証明、表現行列と基底の取り替え。齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）は固有値からジョルダン標準形までを扱っています。対角化の判定は線形代数の院試対策ページの練習例でも確かめられます。
• 微分積分：ε-δ論法とε-N論法、一様連続と一様収束、広義積分の収束判定、テイラー展開、2変数関数の極値と重積分。杉浦光夫『解析入門I』（東京大学出版会）で、定義から書く証明の形を確認します。
• 代数：拡大次数、分解体とガロア対応、円分体、有限体、環のイデアル。雪江明彦『代数学2 環と体とガロア理論』（日本評論社）は、ガロア理論、有限体、円分体を含む体論と、環とイデアルの基本を扱っています。
• 幾何・位相：第一基本量とガウス曲率、回転面、距離の公理、開集合と閉集合。小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』（裳華房）と内田伏一『集合と位相』（裳華房）が対応します。
• 複素解析：留数定理、高位の極の留数、積分路上の評価、三角関数の積分の置換。神保道夫『複素関数入門』（岩波書店）で、留数による実積分の計算を練習します。

参考書で確認した後は過去問に戻り、同じ論点の問題を続けて解きます。対角化なら2025年度春季[1]、2026年度夏季[2]、2026年度春季[1]、留数と積分路なら2024年度夏季[9]、2026年度夏季[9]、2026年度春季[9]の順です。

無料解答・大学の解答例・解答PDFの使い方

年度別ページでは、各回の[1]（線形代数）の解答と解説を無料で読めます。対象は2024年度夏季、2024年度春季、2025年度夏季、2025年度春季、2026年度夏季、2026年度春季の6問です。まず自分で解き、固有空間の次元の数え方や、パラメータで場合を分ける位置を照合してください。

数学の解答・解説PDFは2024年度夏季から2026年度春季までの6回分で、各回9問すべての解答と解説を回ごとのPDFに収めています。本番で選ばなかった問題も含めて54問を練習でき、価格は6回分で3,200円です。問題文は収録していないので、数学専攻の問題ページから問題のPDFを開いて並べて使います。

2026年度の2回には、大学の「出題の意図・解答例」もあります。2026年度夏季の数学は2ページで、計算結果と証明の要点が中心です（2026年10月17日確認）。答えの値は大学の資料で確かめ、証明を答案として書き切れたかは院試Hubの解説と照合します。2024・2025年度の4回は、大学の解答例が公開されていません。

数学専攻のページにある2023年度の2回と2027年度夏季は、解答PDFに含まれません。2027年度夏季も同じ3題選択の形式なので、6回を終えた後に時間を計って解く仕上げに使えます。大学の解答資料の公開先は立教大学の過去問・解答資料のまとめで確認できます。理学研究科の他専攻は物理学専攻と化学専攻のガイドで扱い、研究科の解答PDFは立教大学理学研究科のページにまとめています。