立教大学 理学研究科 数学専攻 数学 院試過去問の解答・解説集

立教大学 数学の設問の主題と、解説で扱う内容を実施回ごとにまとめています。 線形代数・位相・幾何・微分積分・解析・代数は以下の6回すべてで扱っています。

1. 2026年度 春季（2026年2月実施）解説9項目固有値・対角化可能性・ジョルダン標準形と冪／可換な行列の共通固有ベクトルと同時対角化／チェザロ平均と重み付き平均の極限／積分判定法によるp級数と比較判定／整域の性質と有限整域が体になること／x^3-2 の分解体とガロア対応／距離空間の1点集合と距離関数の連続性／回転面と常らせん面の第一基本量とガウス曲率／長方形積分路による ∫_0^\inftyx/(e^2π x-1)dx の計算

   • 第1問 線形代数固有値・対角化可能性・ジョルダン標準形と冪解説: 展開の向きを選ぶ / 重解になる a
   • 第2問 線形代数可換な行列の共通固有ベクトルと同時対角化解説: 可換性が効く場所 / 零ベクトルの扱い
   • 第3問 微分積分・解析チェザロ平均と重み付き平均の極限解説: 2 段構えの意味 / 逆は成り立たない
   • 第4問 微分積分・解析積分判定法によるp級数と比較判定解説: 不等号の向き / s≤0 を除く理由
   • 第5問 代数整域の性質と有限整域が体になること解説: 言い換え / 1≠0 の役割
   • 第6問 代数x^3-2 の分解体とガロア対応解説: L が x^3-2 の分解体であること / ガロア群の同型類
   • 第7問 位相・幾何距離空間の1点集合と距離関数の連続性解説: 使った公理 / 分離公理での言い換え
   • 第8問 位相・幾何回転面と常らせん面の第一基本量とガウス曲率解説: F_1=0 の意味 / 一般の回転面
   • 第9問 数学長方形積分路による ∫_0^\inftyx/(e^2π x-1)dx の計算解説: 定義値が効いていること / 留数定理を使わない理由

   2026年度 春季（2026年2月実施）の解説ページ
2. 2026年度 夏季（2025年7月実施）解説9項目パラメータ付き線形写像の全射性・核・像／冪等行列の固有値・固有空間・対角化可能性／逆関数定理と逆関数の縮小性／2変数関数の停留点とヘッセ行列による極値判定／分母が p 冪の有理数のなす群の自己準同型環／\mathbb F_2 上の x^6+x^3+1 と有限体の拡大／弧長助変数で表した回転面のガウス曲率／ハミング距離と離散的な距離空間／長方形積分路と π の級数表示

   • 第1問 線形代数パラメータ付き線形写像の全射性・核・像解説: 全射性の言い換え / 4>3 なので単射にはならない
   • 第2問 線形代数冪等行列の固有値・固有空間・対角化可能性解説: 最小多項式による見方 / 両方が現れるとは限らない
   • 第3問 微分積分・解析逆関数定理と逆関数の縮小性解説: 開区間になる理由 / f'>1 という強い評価
   • 第4問 数学2変数関数の停留点とヘッセ行列による極値判定解説: f_x の因数分解が効く / 対称性
   • 第5問 代数分母が p 冪の有理数のなす群の自己準同型環解説: G の正体 / 表示は一意でない
   • 第6問 代数\mathbb F_2 上の x^6+x^3+1 と有限体の拡大解説: 一般化 / s の意味
   • 第7問 位相・幾何弧長助変数で表した回転面のガウス曲率解説: E=1 の意味 / F=0 の意味
   • 第8問 位相・幾何ハミング距離と離散的な距離空間解説: ハミング距離 / n=1 の場合
   • 第9問 数学長方形積分路と π の級数表示解説: (-1)^n の出どころ / 2π i が 2i になる理由

   2026年度 夏季（2025年7月実施）の解説ページ
3. 2025年度 春季（2025年2月実施）解説9項目4次行列の核・固有空間・対角化可能性／基底の取り替えと表現行列・対角化可能性／絶対収束による広義積分の存在と sin x の評価／極座標による重積分／アルティン・シュライアー拡大 x^5-x-1 over \mathbb F_5／行列で実現した可換環 R(K) と体になる条件／ハミング距離が定める離散位相／コーシー・リーマン関係式と等角写像／高位の極の留数と ∫_-∞^∞(x^2+1)^-ndx

   • 第1問 線形代数4次行列の核・固有空間・対角化可能性解説: 0 が固有値であること / rank の読み取り
   • 第2問 線形代数基底の取り替えと表現行列・対角化可能性解説: 列に並べる / 上三角になること
   • 第3問 微分積分・解析絶対収束による広義積分の存在と sin x の評価解説: m>n としてよい理由 / f の連続性
   • 第4問 微分積分・解析極座標による重積分解説: 2 次と 1 次に分ける / sin2θ の周期
   • 第5問 代数アルティン・シュライアー拡大 x^5-x-1 over \mathbb F_5解説: アルティン・シュライアー多項式 / 5 個の根が相異なること
   • 第6問 線形代数行列で実現した可換環 R(K) と体になる条件解説: 複素数との対応 / 可換性が非自明であること
   • 第7問 位相・幾何ハミング距離が定める離散位相解説: ハミング距離 / K が体である必要はない
   • 第8問 複素解析コーシー・リーマン関係式と等角写像解説: 2 方向で足りる理由 / F' の表示
   • 第9問 複素解析高位の極の留数と ∫_-∞^∞(x^2+1)^-ndx解説: 検算（n=1） / 検算（n=2）

   2025年度 春季（2025年2月実施）の解説ページ
4. 2025年度 夏季（2024年7月実施）解説9項目多項式空間上の線形写像と表現行列／A^4=E を満たす行列の構造／log(1+x)/x と (1+x)^1/x の連続延長とマクローリン展開／関数列の各点収束と一様収束／極大イデアル・根基イデアル・準素イデアル／7次円分体とガウス和による2次部分体／距離を凹関数で変換して得られる距離／ねじれの位置にある2直線を結ぶ直線族と双曲面／留数計算と三角関数の定積分

   • 第1問 線形代数多項式空間上の線形写像と表現行列解説: 2 つの操作の合成 / 像が V に留まることの重要性
   • 第2問 線形代数A^4=E を満たす行列の構造解説: 行列式による別証 / \det A の値
   • 第3問 微分積分・解析log(1+x)/x と (1+x)^1/x の連続延長とマクローリン展開解説: ロピタルの定理でもよい / 除去可能特異点
   • 第4問 微分積分・解析関数列の各点収束と一様収束解説: 最高次で見る / 極限関数が連続であること
   • 第5問 代数極大イデアル・根基イデアル・準素イデアル解説: 対応定理による見方 / 可換性と 1 の存在
   • 第6問 代数7次円分体とガウス和による2次部分体解説: ガロア群 / \zeta の冪の和
   • 第7問 位相・幾何距離を凹関数で変換して得られる距離解説: E は有界 / 位相が変わらないこと
   • 第8問 位相・幾何ねじれの位置にある2直線を結ぶ直線族と双曲面解説: 一意性の理由 / 幾何的な意味
   • 第9問 数学留数計算と三角関数の定積分解説: 分子の零点 / 無限遠での振る舞い

   2025年度 夏季（2024年7月実施）の解説ページ
5. 2024年度 春季（2024年2月実施）解説9項目シルベスター方程式 AX-XB と共通固有値／{}^tAA と A{}^tA の固有値から行列を復元する／多重極限の非存在と単調増加列による広義重積分／区分的に定義された関数の連続性・値域・微分可能性／3次多項式 x^3-12x-34 の既約性と分解体／円演算 a° b=a+b-ab が定める群と乗法群との同型／閉区間上の連続写像の不動点定理／一葉双曲面の助変数表示とガウス写像／微分方程式から整関数を決定して留数を求める

   • 第1問 線形代数シルベスター方程式 AX-XB と共通固有値解説: ベクトル空間としての M_2(\mathbb R) / f の核の意味
   • 第2問 線形代数{}^tAA と A{}^tA の固有値から行列を復元する解説: I+J と見抜く / 半正定値性
   • 第3問 微分積分・解析多重極限の非存在と単調増加列による広義重積分解説: f が斉次であること / 有界でもないこと
   • 第4問 微分積分・解析区分的に定義された関数の連続性・値域・微分可能性解説: ロピタルの定理でもよい / 半角公式による表示
   • 第5問 代数3次多項式 x^3-12x-34 の既約性と分解体解説: 3 次以下に特有の判定 / \bmod\ p による別証
   • 第6問 代数円演算 a° b=a+b-ab が定める群と乗法群との同型解説: 恒等式の見つけ方 / ψ(a)=1-a という写像
   • 第7問 位相・幾何閉区間上の連続写像の不動点定理解説: 不連続点は 1 つで足りる / ほかの例
   • 第8問 位相・幾何一葉双曲面の助変数表示とガウス写像解説: 2 つの恒等式の役割 / X の形
   • 第9問 数学微分方程式から整関数を決定して留数を求める解説: z=0 での扱い / h の正体

   2024年度 春季（2024年2月実施）の解説ページ
6. 2024年度 夏季（2023年7月実施）解説9項目パラメータ付き3次行列の固有値と対角化・ジョルダン標準形／3つの1次因子で零化される行列の構造／一様連続性の定義と判定／|x|^ssin(1/x^2) の微分可能性と導関数の連続性／短完全列と次元の有限性／5次円分体とその実部分体／上半平面の双曲計量と測地線・面積／連続関数の空間に入れた L^1 型の距離／正方形積分路による ∑1/(2n+1)^2 の計算

   • 第1問 線形代数パラメータ付き3次行列の固有値と対角化・ジョルダン標準形解説: t で書く利点 / 非対称行列であること
   • 第2問 線形代数3つの1次因子で零化される行列の構造解説: 一般則 / 設問2で使う場所
   • 第3問 微分積分・解析一様連続性の定義と判定解説: 各点連続との違い / 否定
   • 第4問 微分積分・解析|x|^ssin(1/x^2) の微分可能性と導関数の連続性解説: x>0 と x<0 をまとめる / 2 項の大きさの差
   • 第5問 線形代数短完全列と次元の有限性解説: 線型性が要ること / 記号 O
   • 第6問 代数5次円分体とその実部分体解説: 一般の円分体 / 部分群と中間体
   • 第7問 位相・幾何上半平面の双曲計量と測地線・面積解説: ユークリッド長との違い / p→∞
   • 第8問 位相・幾何連続関数の空間に入れた L^1 型の距離解説: 連続性が本質的な場所 / 一様収束の距離との違い
   • 第9問 数学正方形積分路による ∑1/(2n+1)^2 の計算解説: 虚軸上に並ぶ / 真性特異点はない

   2024年度 夏季（2023年7月実施）の解説ページ