電通大 情報理工学研究科 情報学専攻 専門科目（情報学） 2026年度 院試 解答例・解説

行列を $J-I$ と見る

対角成分が $0$，それ以外が $1$ の行列は，直接成分計算してもよいが，$J-I$ と見るのが最も早い。$Jx$ は $$x_1+x_2+x_3+x_4$$ を全成分にもつベクトルである。したがって，成分和が $0$ のベクトルには $J$ が消えて，$A$ は単に $-I$ として働く。

固有空間の構造

$\mathbf{1}$ 方向では $J$ が $4$ 倍として働くため，$A=J-I$ は $3$ 倍として働く。これと直交する成分和 $0$ の三次元部分空間では $J$ が $0$ として働くため，$A$ は $-1$ 倍として働く。この分解により，固有値の重複度まで一度に分かる。

基底であることの確認

$p_1,p_2,p_3$ が固有空間に入る条件は成分和が $0$ であることだけである。値を決めた後は，三つが一次独立であることを確認すればよい。第2，第3，第4成分がそれぞれ係数を直接与える形になっているため，一次独立性は即座に従う。

採点の置き所

この問題は，成分計算で押し切るよりも $A=J-I$ と認識できるかが大きい。答案では，$Jx$ が「成分和を全成分に並べたベクトル」になることを一文で書くと，$Au=-u$ と固有空間の記述が同じ理由から出ていることが伝わる。

検算

$\alpha=\beta=\gamma=-1$ とした三つのベクトルはいずれも成分和が $0$ であるため，確かに $-1$ 固有空間に属する。さらに三つのベクトルの第2，第3，第4成分を並べると単位ベクトル型になっているので，一次独立性の確認も容易である。値を求めたら，この二点で答を検算するとよい。

陰曲線の法線

曲線 $f(x,y)=0$ の接線方向は，勾配 $\nabla f$ と直交する。したがって法線方向は $\nabla f$ そのものである。点を通り，方向ベクトルが $(1,2)$ の直線として表すと，計算ミスを防ぎやすい。

極値判定

二変数関数の極値は，まず停留点をすべて列挙し，ヘッセ行列の正定値・負定値・不定値で判定する。今回の停留点は三つあるが，正定値になるのは $(1,1)$ だけである。行列式が負になる点は，増える方向と減る方向が両方あるため，極値ではない。

平方根を消す変数変換

領域条件に $\sqrt{x}$ と $\sqrt{y}$ が現れるときは，$x=u^2,\ y=v^2$ とおくのが自然である。領域が標準的な三角形になり，被積分関数とヤコビアンも単項式になる。最後はベータ積分として処理できるが，多項式を展開して積分しても同じ値が得られる。

採点の置き所

法線では，点を通ることと方向ベクトルが勾配であることの二つを書く。極値では $f_y=2x(y-1)$ から場合分けし，三つの停留点を漏れなく列挙することが最初の山である。各点のヘッセ行列の行列式まで書けば，極小点と鞍点の区別が明確になる。

積分の検算

変数変換後の領域は $u,v\ge0,\ u+v\le1$ であり，面積要素は $$dxdy=4uv\,dudv$$ である。被積分関数 $\sqrt{xy}=uv$ と合わせて $4u^2v^2$ になるため，積分値は正で小さい値になる。得られた $1/45$ はこの符号・大きさと整合する。