電通大 情報理工学研究科 情報学専攻 専門科目（情報学） 2025年度 院試 解答例・解説

像の次元

線形写像 $f(x)=Ax$ の像は，$A$ の列ベクトルが張る空間である。したがって列ベクトル間の一次関係を調べればよい。今回は $a_3$ が $a_1,a_2$ の一次結合であり，かつ $a_1,a_2$ は一次独立なので，像は二次元である。

核が零でない条件

$\mathbb{R}^3$ から $\mathbb{R}^3$ への線形写像では，行列が正則でないときに限り核が非自明になる。したがって $B$ の行列式を因数分解すれば条件がそのまま出る。

像と核の交わり

$\operatorname{Im}f$ の一般元を $sa_1+ta_2$ と書き，これが $B$ で $0$ に送られる条件を見る。非零解があるかどうかは，$Ba_1,Ba_2$ が一次従属になるかどうかで判定できる。

採点の置き所

像の次元では，単に $\operatorname{rank}A=2$ と書くだけでなく， $$a_3=9a_1+5a_2,\qquad a_1,a_2\ \text{は一次独立}$$ を示すと根拠が明確になる。核が非自明な条件は $\det B=0$ の因数分解で決まるが，像との交わりでは，さらにその核が $\operatorname{span}\{a_1,a_2\}$ に入るかを別に調べる必要がある。

$c=3$ を落とす理由

$c=3$ では $B$ 自体は正則でないが，$\operatorname{Im}f$ の一般元 $sa_1+ta_2$ が $B$ で $0$ に送られる非零条件を満たさない。したがって第2小問の条件 $c=-3,3$ をそのまま第3小問へ流用しない。答案では $Ba_1,Ba_2$ の一次従属性を調べたことを明示するのが失点を避ける書き方である。

陰関数の二階微分

一階微分は $f_x+f_y y'=0$ から出る。二階微分では，この式をさらに $x$ で微分して $$f_{xx}+2f_{xy}y'+f_{yy}(y')^2+f_y y''=0$$ を使う。点で $y'=0$ になるため，今回の計算はかなり短くなる。

積分領域の変換

$I_1$ は $x-y$ が三角関数の中にあり，領域には $x+y$ が出るため，$u=x-y,\ v=x+y$ が自然である。$I_2$ は円環の一部なので極座標に変換すると，角度と半径が分離する。

陰関数で確認する条件

陰関数の微分公式を使うには，その点で $f_y\ne0$ であることを確認しておくと答案が締まる。ここでは $$f_y(-1,-2)=-3\ne0$$ なので，点の近くで $y=\varphi(x)$ と見てよい。二階微分では $y'=0$ を代入してから計算すると，余計な項を残さずに済む。

積分の典型ミス

$u=x-y,\ v=x+y$ の変換ではヤコビアンが $1/2$ になる。これを落とすと $I_1$ が2倍になる。また $I_2$ では $$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-(x^2+y^2)^2}}$$ に面積要素 $r\,dr\,d\theta$ を掛けると $1/\sqrt{1-r^2}$ になる。分母に $r$ を残したままにしないことが重要である。