電通大 情報理工学研究科 情報学専攻 専門科目（情報学） 2023年度 院試 解答例・解説

重複固有値の扱い

固有値 $1$ は代数的重複度が $2$ である。対角化可能かどうかは，この固有値の固有空間が二次元になるかで決まる。固有値 $3$ は単純固有値なので，常に一次元の固有空間をもつ。

$(E-A)^2$ の階数

$(E-A)^2$ は直接計算すると階数 $1$ の行列になる。したがって階数・退化次数の関係から，像の次元と核の次元がすぐに決まる。

対角化条件の書き方

固有値 $1$ の代数的重複度は $2$ なので，対角化可能性は $$\dim\ker(A-E)=2$$ となるかどうかで決まる。答案では，$(A-E)x=0$ の非零行が一次従属になる条件を明示するのが安全である。ここで $$(4,1-a,4)=-2(-2,1+a,-2)$$ と比較すると，第2成分から $1-a=-2-2a$，すなわち $a=-3$ が出る。

典型ミス

$\mu=1$ に対する写像が $f(x)=(\mu E-A)^2x$ である点を，単なる固有空間 $\ker(E-A)$ と混同しない。$(E-A)^2$ の核は一般化固有空間を見ているため，ここでは $\dim\ker f=2$ となる。一方，対角化条件では $\ker(A-E)$ の次元を調べるので，二つの核を区別して書く必要がある。

必要な次数だけ残す

マクローリン展開では，求める係数が二次までなので，三次以上の項は捨ててよい。特に $\sin(x^2+3y)$ の三乗項は少なくとも三次以上になる。

極値とヘッセ行列

停留点を求めた後，二次形式またはヘッセ行列で判定する。$(0,0)$ は二次部分が正負両方を取るため極値ではない。

円板上の積分

被積分関数が $\sqrt{x^2+y^2}$ だけで決まるため，極座標にすると一変数積分になる。

採点の置き所

マクローリン係数では，どの項を二次まで残したかを示すと部分点が取りやすい。極値では停留点を二つ出したあと，$(0,0)$ は二次形式 $x^2+xy$ が不定符号，$(1,-2)$ はヘッセ行列が正定値，という判定理由を分けて書くとよい。

検算

重積分は $$\int_0^\pi r\sin r\,dr=\pi$$ となるため，角度方向の $2\pi$ を掛けて $2\pi^2$ になる。途中で $\int r\sin r\,dr$ の符号を誤ると負の値が出るが，被積分関数は円板内で非負なので，負の答はその時点で誤りと分かる。