電通大 情報理工学研究科 情報学専攻 専門科目（情報学） 2022年度 院試 解答例・解説

固有値の見通し

この行列は対称行列なので，異なる固有値に属する固有ベクトルは直交する。実際， $(1,1,1)^T$ に作用させると $$A(1,1,1)^T=3(1,1,1)^T$$ となるため，最大固有値の候補 $3$ はすぐに見つかる。残りは特性多項式で確定させるのが確実である。

行列多項式の考え方

$aA^2+bA+cE=O$ のような式は，固有ベクトルに作用させてスカラーの条件に落とすのが基本である。今回は三つの異なる固有値があるので，二次式が三点で消えることになり，係数がすべて零であると分かる。

Cayley--Hamilton の使いどころ

三次式の行列等式を求める部分では，特性多項式をそのまま行列に代入する。符号を間違えやすいので， $$(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+3)$$ を一度展開してから係数を読むとよい。

採点の置き所

この問題では，特性多項式の計算，最大固有値に対応する固有ベクトル，行列多項式を固有ベクトルへ作用させる発想，Cayley--Hamilton の係数読み取りがそれぞれ独立に採点されやすい。特に $$q(A)=O \quad\Rightarrow\quad q(\lambda_i)=0$$ を三つの固有値すべてに対して書けば，二次多項式が零多項式になる理由が明確になる。

典型ミス

$\det(A-\lambda E)$ と $\det(\lambda E-A)$ では全体の符号が変わるが，固有値は変わらない。途中で特性多項式の符号だけを見て係数 $s,t,u$ を読むと， $$A^3-A^2-9A+9E=O$$ の符号を逆にしやすい。最後に $A(1,1,1)^T=3(1,1,1)^T$ を代入して，最大固有値の答と整合しているかを確認するとよい。

極値判定

二変数関数では，停留点を求めたあとにヘッセ行列の符号で分類する。行列式が正で $f_{xx}>0$ なら極小，行列式が正で $f_{xx}<0$ なら極大，行列式が負なら鞍点である。

陰関数の接線

$f(x,y)=0$ の接線は，勾配ベクトル $\nabla f$ に垂直である。したがって $$f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$$ を使えばよい。今回は $f_x$ と $f_y$ の符号を取り違えると接線の定数項が変わるので注意する。

極座標への変換

積分領域が原点中心の円環なので，極座標に直すのが最短である。面積要素が $$dxdy=r\,dr\,d\theta$$ になる点を忘れないことが重要である。

採点の置き所

極値問題では，停留点の列挙だけでなく，ヘッセ行列の行列式と $f_{xx}$ の符号を各点で書くことが重要である。$(10,5)$ で極小値を計算し，$(-2,-1)$ が鞍点であることまで示せば，極大点が存在しない理由も答案上で伝わる。

検算

接線は $$-30(x-1)+36(y-3)=0$$ から得ているので，点 $(1,3)$ を代入すると必ず $0$ になる。積分では $1\le r\le4$ かつ $r<5$ なので被積分関数は正であり， $$2\pi(5\log4-3)>0$$ となることも結果の符号確認になる。