電通大 情報理工学研究科 情報学専攻 専門科目（情報学） 2024年度 院試 解答例・解説

固有ベクトルで分解する

固有ベクトルの一次結合でベクトルを表せると，$A^n$ の計算が簡単になる。固有値 $\lambda$ に対応する固有ベクトル $p$ では $A^n p=\lambda^n p$ であるため，今回のように $p_3$ を $p_1,p_2$ で表すことが核心になる。

採点の置き所

最初の小問では，$p_3=ap_1+bp_2$ と置き，どの成分から $a,b$ を決めたかを書くと十分である。次に $Ap_1=3p_1$，$Ap_2=-p_2$ を明示すれば，二つのベクトルが固有ベクトルである根拠になる。最後の $A^np_3$ は，係数をそのまま $$-5\cdot 3^n p_1+2(-1)^n p_2$$ へ移すだけなので，第4成分を取り出す前にこの式を書くと採点者に伝わりやすい。

典型ミス

$p_3$ の分解係数を求めた後に，$A^n$ を $p_3$ の各成分へ直接かけてはいけない。行列 $A$ は標準基底方向では対角とは限らず，固有ベクトル方向でだけ累乗が簡単になる。最後の第4成分では $p_1$ の第4成分が $-1$，$p_2$ の第4成分が $-3$ であるため，符号の確認を必ず行う。

接平面

曲面 $z=g(x,y)$ の $(x_0,y_0)$ における接平面は $$z=g(x_0,y_0)+g_x(x_0,y_0)(x-x_0)+g_y(x_0,y_0)(y-y_0)$$ で与えられる。今回は $g$ が二次式なので，偏微分を直接代入すればよい。

領域に合わせた積分

正方形上の $1/(x+y+1)$ は一変数ずつ対数に落とす。円に関する条件 $1\le x^2+y^2\le2x$ は極座標で $1\le r\le2\cos\theta$ となり，扇形状の領域として扱える。

領域の決め方

極座標にした後， $$1\le r\le 2\cos\theta$$ が成り立つには $2\cos\theta\ge1$ が必要である。さらに $y\ge0$ から $\theta\ge0$ なので， $$0\le\theta\le\frac{\pi}{3}$$ となる。半径の上下限だけを書いて角度範囲を落とすと，積分領域が過大になる。

検算

$I$ は正方形上の正の関数の積分なので正であり，$3\log3-4\log2>0$ と整合する。$J$ も領域上で $x\ge0$ だから非負である。得られた $$\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{4}$$ は正の値なので，領域設定と符号に大きな矛盾はない。