電通大 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 専門科目（電気電子・光デバイス系） 2023年度 院試 解答例・解説

途中式

直流回路は、中央抵抗を負荷として外すと左右の枝がそれぞれ開放電圧と直列抵抗 $2R_1,2R_2$ を持つ形になる。開放電圧の符号を間違えないことが最重要で、節点方程式にすれば符号を一括して管理できる。

検算

交流回路で $\omega\to0$ とすると $Z\to R$、$\omega\to\infty$ とすると並列部は短絡に近づき $Z\sim j\omega L$ となる。これは回路の極限と一致する。増幅回路では $R_L$ が小さくなると $R_C\parallel R_L$ が小さくなり、利得が下がるので物理的にも自然である。

典型ミス

並列 $RC$ を $R+1/(j\omega C)$ としてしまう誤り、仮想短絡を「入力端子に電流が流れる」と解釈する誤り、$C_E$ を外したときに利得が増えると答える誤りが多い。$C_E$ は交流的な負帰還を消す部品なので、外すと負帰還が復活して利得は下がる。

試験で書くべきポイント

公式だけでなく、どの節点電圧を未知数にしたか、どのコンデンサを中域で短絡扱いしたか、負帰還がどの電圧差を打ち消す向きに働くかを短く書くと部分点を失いにくい。

途中式

干渉縞は「隣り合う明線で光路差が $\lambda$ 増える」と考える。単スリットは各点からの球面波を足し合わせる問題だが、遠方では位相の $p$ に一次の項だけが強度分布を決める。

検算

$X=0$ では $\beta=0$ で極限 $\sin\beta/\beta\to1$ となり中央が最大になる。$\beta=\pm\pi,\pm2\pi,\ldots$ で暗線となるため、単スリット回折の基本的性質と一致する。

典型ミス

平行平板のずれを「幾何学的な横ずれ」と考えてしまうと誤る。問われているのは干渉縞の位相の半周期ずれなので、追加光路差を $\lambda/2$ の奇数倍に置く。波長板では $\Delta n$ の絶対値を用い、速軸・遅軸の符号で厚さを負にしない。

試験で書くべきポイント

屈折率の大小、どちらの偏光か、位相差を $2\pi$ で割った量など、言葉と式を対応させて書く。単語選択問題でも根拠となる条件式を添えると採点者に意図が伝わる。

途中式

領域外で発散する指数関数は束縛状態に使えない。したがって左側では $e^{\alpha x}$、右側では $e^{-\alpha x}$ を選ぶ。境界条件は波動関数だけでなく導関数の連続も必要で、有限の段差ポテンシャルではここが必須である。

検算

$E<0$ なので $\alpha$ は実数、$E+V_0>0$ なので $k$ も実数になる。井戸の外で減衰し内側で振動するという束縛状態の描像と一致する。デルタ極限のエネルギーは $G$ が大きいほど深くなり、次元もエネルギーになっている。

典型ミス

$\alpha=-\sqrt{-2mE}/\hbar$ と置いて減衰解の符号まで混同する誤り、境界条件を $x=L$ だけでなく $x=-L$ にも独立に課して過剰条件にする誤りが多い。偶関数形を仮定しているので、片側境界の条件で十分である。

試験で書くべきポイント

非自明解の条件は、係数 $C_1,C_2$ が同時にゼロでないための条件である、と一言添える。基底状態の概形では「節を持たない偶関数」「外側で指数減衰」を書けば十分である。

途中式

直線電流の向きが $+\hat{\mathbf{x}}$ のとき、磁場の向きは $\hat{\mathbf{x}}\times\boldsymbol{\rho}$ で決まる。平面導体は「電流を幅方向に分けた直線電流の束」と見れば、ビオ・サバールの積分を最小限で済ませられる。

検算

(c) は上下対称なので $y$ 成分が消えるはずである。(d) は対称性が壊れているため $y,z$ の両成分が残る。同軸円筒の電場は $1/r$ で、静電容量は半径比の対数で決まるので、標準結果と一致する。

典型ミス

点 $P$ までの距離を $a$ としてしまうと (a) の大きさがずれる。実際の距離は $\sqrt{2}a$ である。また、同軸円筒の仕事の符号は「静電場のする仕事」か「外力のする仕事」かで反対になるため、設問の主語を確認する。

試験で書くべきポイント

磁場は大きさだけでなく $y,z$ 成分を問われている。単位ベクトルで方向を明記し、積分では面電流の微小電流 $dI$ をどう置いたかを書く。

途中式

1 次元箱では $k_n=n\pi/L$ が量子化の本体である。状態密度は「スピンを含めて $n_F=N/2$」を忘れずに $N(\varepsilon)$ へ読み替えると、$1/\sqrt{\varepsilon}$ 型がすぐに出る。

検算

$D(\varepsilon)$ は低エネルギーで大きくなる。これは 1 次元状態密度の特徴であり、3 次元の $\sqrt{\varepsilon}$ 型と逆である。Si の吸収端 $\lambda_g\simeq1.05\,\mu\mathrm{m}$ は近赤外にあり、可視光が吸収されるという説明と整合する。

典型ミス

フェルミ準位を $n_F=N$ と置くとスピン縮退を二重に数え落とす。抵抗率の式では正孔項を最初から捨てると、設問で与えられた $n_i,\mu_p$ を使えない。まず一般式を書き、その後 $N_D\gg n_i$ の近似を行う。

試験で書くべきポイント

ドナーが V 族である理由、アインシュタイン関係の形、移動度低下の原因が格子散乱であること、可視光と吸収端の大小関係を文章で添える。式だけでなく物理的な向きまで書くと説明問題の点が安定する。