電通大 情報理工学研究科 基盤理工学専攻 専門科目（電気電子・光デバイス系） 2022年度 院試 解答例・解説

方針

前半は理想オペアンプの二条件、すなわち入力電流 0 と仮想短絡だけで整理する。 後半はスイッチング波形の細部を追うのではなく、微分方程式を 1 周期で積分して平均量に落とす。

検算

$R_3=R_0+R_2$ のとき、負荷に関する未知量を含む $I_2$ の係数が消える。 また $V_C=V_0/\alpha$ は、$\alpha<1$ で入力電圧より大きくなり得るので、昇圧動作として自然である。

典型ミス

$v_a$ と $v_b$ の電位を、抵抗の電流向きと逆符号で書くと条件が崩れる。 RL 回路では $V(t)$ が抵抗・コイルと直列に入っているため、右辺は $V_0-V(t)$ である。

試験で書くべきポイント

節点電位をまず $I_1,I_2$ で表し、最後に $I_2$ の係数を 0 にする流れを明示する。 平均化では $\int V(t)\,dt=\alpha V_1T$ と $\Delta I=0$ の二つを書けば、採点者に意図が伝わる。

方針

ファイバは端面でのスネルの法則と側面での全反射条件をつなぐ。 回折は単スリット包絡と多スリット干渉因子を分けて考える。 平面波はマクスウェル方程式に複素指数を代入し、微分を $-i\mathbf k$ と $i\omega$ に置き換える。

検算

$n_1=n_2$ なら $\mathrm{NA}=0$ で、導波できる入射角が消える。 3 スリット中央では振幅が 3 倍、強度が 9 倍であり、強度をそのまま 3 倍にしない点が重要である。

典型ミス

臨界角をファイバ軸から測った角と混同しやすい。 円偏光は採用する時間因子で符号が変わるため、問題文の $e^{i(\omega t-kz)}$ に合わせて位相条件を書く。

試験で書くべきポイント

横波性は「$\nabla\cdot\mathbf E=0$ だから $\mathbf k\cdot\mathbf E_0=0$」と一行で示す。 電界・磁界・伝搬方向の関係は $\mathbf k\times\mathbf E_0$ が $\mathbf H_0$ に平行であることを書けば十分である。

方針

パウリ行列の性質 $\sigma_i^2=I$ と $\mathbf B\cdot\boldsymbol\sigma$ の固有値が $\pm B$ であることを使うと計算が短い。 時間発展は $s_z$ 表示でハミルトニアンが対角なので、成分ごとに一次微分方程式を解けばよい。

検算

$|a(t)|^2+|b(t)|^2=1$ は常に保たれる。 また $\langle s_z\rangle$ が時間に依存しないのは、$H$ と $s_z$ が可換であることと一致する。

典型ミス

電子の電荷を $-e$ としたうえで、問題で与えられたハミルトニアンの符号をそのまま使う。 ここを通常の磁気モーメントの記憶だけで処理すると、エネルギー準位の上下を取り違える。

試験で書くべきポイント

固有ベクトルは必ず規格化して書く。 時間発展では相対位相 $e^{i\omega t}$ が期待値の回転を生むことまで述べると、物理的意味の説明になる。

方針

コンデンサは層が電界方向に並ぶため直列合成で扱う。 スイッチを切った後は電圧一定ではなく電荷一定である点が最重要である。 磁場はまず 1 本の辺の式を作り、正方形コイルでは対称性で横成分が打ち消されることを使う。

検算

真空層 $l$ が増えると容量は小さくなる。 電荷一定では $U=Q^2/(2C)$ なので、容量が小さいほどエネルギーが増える。 また正方形コイルの軸上磁場は中心から遠ざかるほど小さくなり、原点でコイル 2 の寄与を打ち消すには大きな逆向き電流が必要になる。

典型ミス

スイッチを切った後にも $V_0$ 一定として $U=\frac12CV_0^2$ を使うと、力の符号も仕事も逆になる。 ビオ・サバールの外積では電流向きを図の矢印に合わせること。符号を落として大きさだけで進めると、最後の $I'$ の符号を判断できない。

試験で書くべきポイント

固定電荷条件で $U(l)-U(0)=W$ を明示する。 コイルでは「対称性により $B_x=B_y=0$」と書いてから 1 辺の寄与を 4 倍するのが最短である。

方針

ホール測定は、電流密度からドリフト速度を消去して $R_H=1/(qn)$ を作る。 光伝導は、生成レートと寿命から過剰キャリア密度を出し、それを伝導率式に代入する。

検算

$R_H$ の単位は $\mathrm{m^3/C}$ であり、$1/(qR_H)$ は $\mathrm{m^{-3}}$ になる。 光を止めた後の $n(t)$ は $t=0$ で $n_0+G\tau_n$、$t\to\infty$ で $n_0$ に戻るので境界条件を満たす。

典型ミス

ホール電圧の符号だけでなく、どちら側が高電位かから内部電界の向きを決める。 光伝導では $G$ が単位体積当たり、$G_s$ がセル全体当たりの生成数である点を混同しない。

試験で書くべきポイント

数値問題では厚さ $100\,\mu\mathrm m=1.0\times10^{-4}\,\mathrm m$ の換算を書く。 利得の導出では「セル内の過剰電子数 $G_s\tau_n$」と「1 個あたりの走行時間 $t_0$」を明示すると式の意味が伝わる。