名大 情報学研究科 数理情報学 2020年2月実施 院試 過去問 解答例・解説（全3問）

(1)

$u=(x,y,z,t)^T$ が $W^\perp$ に属する条件は $$2x+y+2z+6t=0,\quad x+2z+3t=0,\quad 3x+y+3z+8t=0$$ である。第2式から $x=-2z-3t$、第1式から $y=2z$、 第3式に代入して $z=-t$ を得る。したがって $$u=t(-1,-2,-1,1)^T$$ であり、例えば $$W^\perp=\operatorname{span}\{(1,2,1,-1)^T\}$$ である。

(2)

(1) の $u=(1,2,1,-1)^T$ を用いると、$W=u^\perp$ である。 したがって $\operatorname{span}\{w_1,w_2,w_3\}=W$ のためには まず $u\cdot w_i=0$ が必要である。計算すると $$u\cdot w_1=2b-1,\quad u\cdot w_2=2-4b,\quad u\cdot w_3=2b-1.$$ よって $b=1/2$ が必要である。

$b=1/2$ のとき $$w_1=(2,-1,3,3)^T,\quad w_2=(-1,1,0,1)^T,\quad w_3=(1,-1,1,0)^T.$$ $\alpha w_1+\beta w_2+\gamma w_3=0$ とおくと、第4成分から $3\alpha+\beta=0$、第3成分から $3\alpha+\gamma=0$、 第2成分から $-\alpha+\beta-\gamma=0$ である。これらより $-\alpha-3\alpha+3\alpha=0$、すなわち $\alpha=0$ となり、 続いて $\beta=\gamma=0$ である。したがって3本は一次独立で、 いずれも3次元空間 $W$ に属するから $W$ を張る。

(3)

$u=(1,2,1,-1)^T$ とおくと $u^Tu=7$ である。$W^\perp$ 上への 直交射影は $$P=\frac{uu^T}{u^Tu} =\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1&2&1&-1\\ 2&4&2&-2\\ 1&2&1&-1\\ -1&-2&-1&1 \end{pmatrix}$$ である。

(4)

$v_1,v_2,v_3$ は $W$ の基底であり、$u$ は $W^\perp$ の基底である。 この基底 $$(v_1,v_2,v_3,u)$$ に関する $P$ の表現行列は $$\operatorname{diag}(0,0,0,1)$$ である。したがってこの基底が求める対角化基底である。