京大 理学研究科 地球惑星科学専攻 地球惑星科学専攻 基礎科目 2023年度 院試 解答例・解説

方針

小問ごとに標準事項を確実に処理する問題である。積分は置換，トレースは成分表示，逆行列は零の配置を見てブロック化，微分方程式は重解ではなく「右辺が同次解と重なる」ことに注意する。

逆行列の検算

求めた逆行列の第 $1,3$ 成分ブロックについて $$\begin{pmatrix}3&5\\2&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3&5\\2&-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ であり，第 $2,4$ 成分ブロックについても $$\begin{pmatrix}8&2\\2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4&-1/2\\-1/2&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$ となる。符号ミスが起こりやすいので，最後に $CC^{-1}=I$ の一部だけでも確認するとよい。

ガウス積分の見方

行列 $$A=\begin{pmatrix}-2&1\\1&-2\end{pmatrix}$$ の固有値は $-1,-3$ で，どちらも負である。したがって積分は収束する。指数部を平方完成する方法でもよいが，直交変換で固有方向 $(1,1)$, $(1,-1)$ に移すと二つの一次元ガウス積分に分離する。直交変換のヤコビアンが $1$ であることを書き落とさないのが答案上のポイントである。

摩擦の問題

摩擦係数は無次元量である。$m$ が与えられていないので，運動方程式で $m$ が消える形にするのが自然である。停止距離の問題では，時間を求めずに $v^2-v_0^2=2as$ を使うと計算が短い。

球殻の慣性モーメント

薄い球殻の慣性モーメントは $I=(2/3)Ma^2$，$M=4\pi a^2\rho$ としても直ちに得られる。面密度 $\rho$ が与えられているので，体積密度と取り違えないことが重要である。

安定条件の意味

$N$ 次元では外部重力の大きさが $r^{1-N}$ に比例する。一方，角運動量保存を考慮した遠心力は常に $r^{-3}$ に比例する。半径が少し増えたとき，外向きの遠心力が重力より速く弱まれば内向きの復元力が働く。この比較が $N<4$ という条件の中身である。

試験で書くべき点

小問 (3) では「遠心力は $r^{-3}$」とすぐ書くと，角運動量保存を使った理由が見えにくい。中心力なので $L=mrv$ が保存され，そこから遠心力を $L^2/(mr^3)$ と表す，という一文を入れると答案として安定する。

球内電場

一様帯電球の内部では，半径 $r$ のガウス球が包む電荷が $r^3$ に比例するため，電場の大きさは $r$ に比例する。したがって電子は調和振動子になる。電子の電荷を $+e$ としてしまうと，原点から離れる指数関数的な運動になり，物理的にも不自然である。

同軸導体の磁場

外側導体の電流は内側と反対向きである。$b\le r<c$ では，外側導体電流のうち半径 $r$ までに含まれる割合 $$\frac{r^2-b^2}{c^2-b^2}$$ だけが内側電流を打ち消す。$r=c$ で $B=0$ になることを確認すると，符号と面積比のミスを検出できる。

反射率の典型ミス

境界条件は $B$ そのものではなく，接線成分の $H=B/\mu$ の連続である。また反射波では $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}$ が $-z$ 方向を向く必要があるため，$B_r$ と $E_r$ の符号関係が入射波と逆になる。この二点を落とすと，インピーダンスの分子の符号や係数が合わなくなる。

熱力学と速度論の区別

ダイヤモンドが常温常圧でグラファイトより熱力学的に不安定であることと，実際に短時間で変化することは別である。自発性はギブズエネルギー差，進みにくさは活性化エネルギーで説明する。

圧平衡定数

解離反応では総物質量が変化する。分圧を出す前に全物質量 $1+\alpha$ を書くことが重要である。$p_A=(1-\alpha)p$，$p_B=2\alpha p$ としてしまうのが典型的な誤りである。

二次反応の半減期

一次反応の半減期は初期濃度に依存しないが，二次反応では $t_{1/2}=1/(k[C]_0)$ となり初期濃度に反比例する。この違いは速度式を積分した形から直接確認できる。

マイヤーの関係

単原子分子であることを使えば $C_V=3R/2$，$C_P=5R/2$ として差を出してもよい。ただし $C_P-C_V=R$ 自体は理想気体なら単原子に限らず成り立つので，$H=U+PV$ から示す答案の方が一般性があり，減点されにくい。

プレートの厚さと水深

プレートが冷えて厚くなると，密度の大きいプレート物質がアセノスフェアを置き換えるため，アイソスタシーにより海底は沈降する。水深増加量は $$\Delta h=\frac{\rho_{\mathrm p}-\rho_{\mathrm a}}{\rho_{\mathrm a}-\rho_{\mathrm w}}L$$ であり，分母が「アセノスフェアと海水の密度差」になる。$\rho_{\mathrm p}-\rho_{\mathrm w}$ を分母にしてしまうと，補償面で何を置換しているかが合わない。

海嶺地形

低速拡大の大西洋中央海嶺では冷却による強度増加と断層変位の影響が大きく，起伏が大きく山腹が急になりやすい。高速拡大の東太平洋海膨では熱的に高温で，軸部地形は比較的なだらかになる。

速度三角形

相対速度は添字の順序が重要である。$\boldsymbol{V}_{AB}$ は「B に対する A」の速度， $\boldsymbol{V}_{BC}$ は「C に対する B」の速度であり， $$\boldsymbol{V}_{AB}+\boldsymbol{V}_{BC}+\boldsymbol{V}_{CA}=0$$ を閉じた速度三角形として使う。

三重会合点の安定条件

海溝境界では，沈み込む側が境界へ向かう相対速度成分を持つ必要がある。境界から離れる成分を持つと，海溝が開く向きになり，三重会合点の幾何が時間とともに保てない。答案では「境界法線成分」と「境界平行成分」を分けて述べると明確である。

Al$_2$SiO$_5$ 相図

藍晶石は高圧相，珪線石は高温相，紅柱石は低圧側の相である。紅柱石--珪線石境界の傾きと，$\Delta S>0$ という情報を結びつけると，体積変化の符号まで判断できる。クラウジウス--クラペイロン式では，反応の向きをそろえて $\Delta S$ と $\Delta V$ を読むことが重要である。

単斜晶の垂直関係

単斜晶では $\alpha=\gamma=90^\circ$，$\beta\ne90^\circ$ である。したがって $b$ 軸だけは $a$--$c$ 面に垂直であるが，$a$ 軸は $(100)$ 面の法線とは限らない。直交晶の感覚で $[hkl]$ と $(hkl)$ がいつも垂直だと考えるのは誤りである。

ソルバスと温度計

冷却時に一相固溶体が二相へ分離すると，各相の組成は温度に依存する。天然試料で共存する二相の組成を測り，ソルバスの較正曲線に戻すのが二長石温度計や二輝石温度計の考え方である。

開放系の水の扱い

脱水反応で出た H$_2$O がすぐに失われる条件では，その後の経路は閉じた H$_2$O 飽和系の相図を単純になぞらない。問題文の「石英が先に消費しつくされる」という条件は，後続の石英を必要とする融解反応を止めるための重要な指定である。

地質断面の読み方

形成史は「重なりの法則」「切る・切られる関係」「不整合」「変形の有無」の順に読む。断層がどの層を切り，どの層に覆われるかを見れば，断層の時期を挟み込める。E 層と F 層が断層で切られていないことは，断層運動が E 層堆積前であることを示す。

深成岩との接触関係

地質図上で異なる岩石が接しているだけでは，貫入・不整合・断層を区別できない。野外では，接触変成があるか，基底礫岩があるか，破砕帯があるかを確認する。答案では，関係名と観察根拠を一対にして書くとよい。

火山噴火と気候

短期の寒冷化は硫酸エアロゾルによる日射反射が主因である。火山灰そのものは比較的早く沈降するため，長期の放射影響ではエアロゾルや温室効果ガスの滞留時間が重要になる。大規模火成区では，マグマ起源の CO$_2$ に加え，被貫入堆積物からの炭素放出も温暖化要因になり得る。