京大 理学研究科 地球惑星科学専攻 地球惑星科学専攻 基礎科目 2022年度 院試 解答例・解説

方針

小問ごとに道具は標準的である。ベクトル解析では積の公式を先に書くと符号ミスを減らせる。接線は媒介変数の微分，対称点は垂線の足，連立微分方程式は行列化，最後は一次線形方程式として処理する。

検算

第[1]問の回転は $\nabla\times\mathbf r=\mathbf0$ を使っているため，$\nabla\phi\times\mathbf r$ だけを計算すればよい。例えば $x=y$ では $\nabla\phi=(0,0,z)$ となるので，回転は $(-xz,xz,0)$ となり，上の式と一致する。

第[4]問は解を元の初期条件に代入すると $$x_1(0)=6-3=3,\qquad x_2(0)=-8+5=-3$$ である。また $e^t$ 成分と $e^{-2t}$ 成分はそれぞれ係数行列の固有ベクトル方向に乗っているため，微分方程式も満たす。

典型ミス

平面対称では，垂線の足 $H$ を答えにしてしまう誤りが多い。求める点は原点と対称な点なので $P=2H$ である。媒介変数曲線では $dy/dt$ をそのまま傾きにせず，必ず $(dy/dt)/(dx/dt)$ を用いる。

答案で書くべきポイント

導出過程を求められているので，最終式だけでなく，使用した公式 $$\nabla\cdot(\phi\mathbf r)=\nabla\phi\cdot\mathbf r+3\phi,\qquad \nabla\times(\phi\mathbf r)=\nabla\phi\times\mathbf r$$ や，連立微分方程式の固有値・固有ベクトルを明示すると採点上安定する。

方針

第[1]問は非慣性系での有効重力を考える問題である。ばねばかりは鉛直成分だけでなく，水平加速度に対応する慣性力も含めた合力の大きさを読む。第[2]問は反発係数を直接使うのではなく，エネルギーから最高到達高度の比を出す。第[3]問は球全体の並進加速度を差し引いて，球 B の中心系での潮汐加速度を求める。

時間の見積もり

第[2]問で，運動エネルギーが $(1-\gamma)$ 倍になると，速度は $\sqrt{1-\gamma}$ 倍，高さも $(1-\gamma)$ 倍になる。飛行時間は速度に比例するので，時間比は $\sqrt{1-\gamma}$ である。ここを $(1-\gamma)$ としてしまうと係数が 2 倍ずれる。

潮汐力の符号

点 N は球 A に近いため球 B の中心より強く引かれ，球 B から見ると外向きに加速する。点 F は逆に中心より弱く引かれるため，相対加速度は負になる。符号は，分離が近い側で起こることの物理的確認にもなっている。

答案で書くべきポイント

潮汐加速度の近似では $$(1\pm r_2/R)^{-2}\simeq1\mp2r_2/R$$ を明示する。最後の $R_C$ では，球 B の表面重力との釣り合いを書いてから，同密度条件で $r_1$ 表示に直すと導出が読みやすい。

方針

電荷配置は符号つきの一次元力のつり合いで解く。同心球殻は重ね合わせで電位を出し，接地後のエネルギーは内側球殻の電荷を変数にした二次式として見る。平行導線は対称性で成分を消し，荷電粒子運動はローレンツ力の連立方程式を解く。

同心球殻の見方

半径 $r_i$ の導体球殻の内側では，その球殻による電位は一定である。このため $V_1$ には外側球殻からの寄与 $Q_2/r_2$，$Q_3/r_3$ がそのまま入る。電場がないから寄与がない，と考えてしまうのは誤りで，電場ゼロでも電位は一定値として残る。

サイクロイドの概形

粒子は初め静止しているが，電場で $+y$ 方向に加速される。磁場による力が向きを曲げ，平均的には $\mathbf E\times\mathbf B/B^2$ の向き，すなわち $+x$ 方向へ進む。

典型ミス

第[1]問では中央電荷に働く力だけを 0 にしても不十分である。3 つすべての電荷で力が 0 になる条件を連立して，両端が等しく中央が逆符号であることを示す必要がある。

第[3]問では，点 P で足し合わされる成分は導線間方向ではなく，平面 $\alpha$ に垂直な成分である。図を描いて右ねじの向きを確認するとよい。

方針

第[1]問は二酸化炭素の等温線とファンデルワールス型状態方程式の標準問題である。臨界点では等温線が水平な変曲点になるため，一階微分と二階微分を同時に 0 とする。仕事は「圧縮に必要な仕事」なので，体積が減少する向きで符号を取り直す。

臨界点の検算

$V_E=3b$ を一階微分条件に代入すると $$\frac{RT_E}{(2b)^2}=\frac{2a}{(3b)^3}$$ より $$T_E=\frac{8a}{27Rb}$$ となる。さらに状態方程式に戻すと $$P_E=\frac{R}{2b}\frac{8a}{27Rb}-\frac{a}{9b^2} =\frac{4a}{27b^2}-\frac{3a}{27b^2} =\frac{a}{27b^2}$$ である。

内部エネルギーの意味

理想気体では分子間相互作用を無視するため，同じ温度なら内部エネルギーは同じである。ファンデルワールス型では引力項 $a/V^2$ が存在し，体積を大きくすると分子間引力に逆らって引き離すため，内部エネルギーが増える。したがって正の $a/V^2$ は物理的にも自然である。

典型ミス

圧縮仕事で $$\int_{V_B}^{V_C}P\,dV$$ をそのまま答えると負になる。外部が気体へ加える仕事として正にするなら $-\int_{V_B}^{V_C}P\,dV$ と書く必要がある。

酢酸の電離度では，弱酸であることから $[\mathrm H^+]$ を電離した酢酸濃度とみなす。水の自己解離 $10^{-7}$ は $6.0\times10^{-4}$ に比べて十分小さい。

方針

プレート運動の空欄は，海嶺・沈み込み帯・球面運動の基本語を問うている。計算問題は，オイラー極まわりの角速度とアイソスタシーの 2 つである。どちらも式を立てて単位換算まで書くと点を落としにくい。

アイソスタシーの考え方

海嶺軸ではリソスフェア厚を 0 とみなす。海嶺から離れると，低密度の海水が増える一方，高密度のリソスフェアがアセノスフェアを置き換える。補償深度で柱の質量を等しくすると $$\rho_w h+\rho_l t=\rho_a(h+t)$$ となる。符号を逆にしてしまうと，厚さが負になるので物理的に誤りだと気づける。

速度換算

$1\,\mathrm{km/Myr}$ は $$\frac{10^6\,\mathrm{mm}}{10^6\,\mathrm{yr}}=1\,\mathrm{mm/yr}$$ である。この換算を覚えておくと，プレート速度の計算が非常に速い。

答案で書くべきポイント

50 字程度の説明問題では，単語の定義だけでなく，何に使う概念かを一語添えるとよい。例えば地震波トモグラフィーなら「速度異常からスラブやマントル構造を推定する」と書くと，単なる解析手法名より内容が明確になる。

方針

第[1]問はケイ酸塩四面体の共有酸素数を構造分類に結びつける。第[2]問は観測反射から系統消滅を読む問題で，まず格子消滅を調べ，次に映進面による条件を確認する。第[3]問は共融型 2 成分系の相図を，平衡加熱と分別結晶で分けて読む。

消滅則の検算

体心格子では格子点 $(0,0,0)$ と $(1/2,1/2,1/2)$ からの散乱が $$1+\exp\{\pi i(h+k+l)\}$$ に比例する。したがって $h+k+l$ が奇数なら打ち消し，偶数なら残る。観測ピークの例では $101,011,211,431$ などもすべて和が偶数であり，$I$ 格子と整合する。

相図の読み方

液相線は「その上ではすべて液体，その下に入ると結晶が出る」境界である。固相線は「その下では液体がない」境界である。低温側のソルバスは固溶限界を示し，単相固溶体と 2 固相共存領域を分ける。

これは読み方を示す模式図であり，公式図を写したものではない。答案では，相境界の名称と相の変化を言葉で追えば十分である。

典型ミス

分別結晶では，晶出した固相を系から取り除くため，全体組成を固定したてこ比の議論とは異なる。残液組成が液相線に沿って動くこと，晶出する固相組成も固相線に沿って変わることを書くとよい。

方針

第[1]問は第四紀層序，古地磁気，テフラ，海岸段丘をまとめて問う問題である。空欄は用語を正確に入れ，説明問題では「なぜ対比できるのか」「どのプロセスで地形が残るのか」を因果で書く。第[2]問は岩脈面に働く法線応力とマグマ圧を比較する。

古地磁気の整理

現在を含む正磁極期はブリュンヌ正磁極期で，その前が松山逆磁極期，さらに前がガウス正磁極期である。中期更新世の始まりは松山--ブリュンヌ境界に一致するため，チバニアンの基準として古地磁気境界が重要になる。

海岸段丘で書くべき因果

答案では，単に「隆起してできる」と書くだけでは不十分である。少なくとも $$\text{高海面期の波食・浅海堆積} \rightarrow \text{海面低下または地殻隆起による離水} \rightarrow \text{旧汀線・海成面の保存}$$ という流れを書く。中期更新世末から後期更新世初めの高海面期に形成された面が，その後の相対的海面低下で陸上に現れる，という説明にするとよい。

岩脈面の応力

傾斜角 $\delta$ の面の法線は鉛直から $\delta$ だけ傾く。したがって，鉛直主応力 $\sigma_3$ と水平主応力 $\sigma_2$ の二乗方向余弦を使って $$\sigma_n=\sigma_3\cos^2\delta+\sigma_2\sin^2\delta$$ と書ける。最大傾斜の面がちょうど開くところを限界条件にすると，マグマ圧が求まる。

典型ミス

有効法線応力は圧縮応力から流体圧を引いた量である。したがって，開口条件は $p_m\ge\sigma_n$ であり，$p_m$ を小さく見積もると高傾斜の岩脈が開けない。また，傾斜角 $0^\circ$ は水平面であり，この面の法線応力は鉛直応力 $\sigma_3$ である。