京大 情報学研究科 知能情報学コース 2024年度 院試 解答例・解説

Householder変換として見る

$T=I-2P$ は $v$ 方向だけ符号を反転し，$v$ に直交する超平面上では点を動かさない反射である。この見方を使うと，対称性，直交性，固有値，行列式が一度に分かる。

剰余を整数に挟む

$e$ の無理性証明では，有限和との差を階乗倍して「整数だが0と1の間」という矛盾を作る。剰余の上界が $1$ 未満になるように評価するのが核心である。

最大直径は三角形の鎖で作る

各頂点が直前2頂点へ接続する形にすると，局所的には三角形を作りながら全体として細長いグラフになる。新しい頂点が2つの過去頂点へ接続する制約の下では，これが直径を最も伸ばす典型構成である。

同種を区別しない数え上げ

$P[i,j]$ では品物 $i$ を使わない場合と，少なくとも1個使う場合に分ける。後者は1個取り除いた残りを再び $1,\ldots,i$ で作るので $P[i,j-c_i]$ になる。

対応ありと対応なしで標準誤差が違う

対応ありでは差 $D_i=X_i-Y_i$ の一標本問題になり，共分散 $s_{xy}$ が標準誤差に入る。対応なしでは二標本問題としてプール分散を使う。

ナイーブベイズの形

各成分が条件付き独立なので，クラスごとの尤度は3つのベルヌーイ確率の積になる。正規化定数 $p(x)$ はクラス比較では共通なので，事前確率と尤度の積だけ比較すればよい。

弱対称通信路の容量

行が互いに置換で列和が一定なら，容量は $\log |\mathcal{Y}|-$ 行エントロピーで与えられる。入力を一様にすると出力も一様になるためである。

標本化は周波数領域で複製を作る

時間領域で櫛型関数を掛けると，周波数領域では元のスペクトルが一定間隔で複製される。間隔が狭いと隣の複製が基底帯域へ重なり，これがエイリアシングである。

10進表記は余りの更新で読める

現在の余りが $r$ のとき数字 $d$ を1文字読むと，新しい数は $10$ 倍して $d$ を足したものなので，余りは $(10r+d)\bmod k$ になる。

単独計測では落ちる情報を補う

fMRI だけでは速い処理順序が見えにくく，EEG だけでは発生源定位が不安定である。同時計測の価値は，単に二つのデータを取ることではなく，同じ試行・同じ認知イベントに対して時間軸と空間軸を結びつける点にある。