大数の法則と中心極限定理チェビシェフの不等式・収束の種類・正規近似

大数の法則は、独立同分布で平均 $\mu$ をもつ確率変数の標本平均 $\bar X_n$ が、 $n \to \infty$ で $\mu$ に収束することをいう。中心極限定理は、さらに分散 $\sigma^2$ が有限で正なら、 $\sqrt{n}(\bar X_n - \mu)/\sigma$ の分布が標準正規分布 $N(0,1)$ に近づくことをいう。分布の形によらず、和や平均の確率を正規分布で近似できる。収束の速さの粗い評価にはチェビシェフの不等式 $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$ を使う。

確率・統計の第4単元（全8単元）。先に読む単元：母関数と特性関数

院試数学基礎完成シリーズ確率統計編

基礎ノートと類題を答案の形で解いた問題集（2,480円）。収録章と見本ページを商品ページで確認できる。過去問の本文は収録していない。

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マルコフとチェビシェフの不等式

定理・法則

マルコフの不等式

条件

$X \ge 0$ （確率1で）、 $a > 0$ 、 $\operatorname{E}[X] < \infty$ 。

主張

P(X \ge a) \le \frac{\operatorname{E}[X]}{a}

要点

$a\,\mathbf{1}_{\{X \ge a\}} \le X$ の期待値をとる。 $X$ が負の値をとると成り立たない。

定理・法則

チェビシェフの不等式

条件

$\operatorname{E}[X] = \mu$ 、 $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2 < \infty$ 、 $k > 0$ （ $\varepsilon > 0$ ）。

主張

P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \qquad \text{同値な形}\ \ P(|X-\mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}

要点

$(X-\mu)^2$ にマルコフの不等式を使う。どの分布でも成り立つ代わりに評価は粗く、 $k = 2$ で上界 $1/4$ だが、正規分布の実際の値は $P(|Z| \ge 2) \approx 0.0455$ である。

確率変数の収束の種類

定義

4種類の収束

確率変数の列 $X_n$ と $X$ について、次のように定める。

概収束： $P\left(\lim_{n\to\infty} X_n = X\right) = 1$ 。
確率収束：任意の $\varepsilon > 0$ で $\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0$ 。
平均2乗収束： $\lim_{n\to\infty}\operatorname{E}[(X_n - X)^2] = 0$ 。
分布収束： $F_X$ の連続点 $x$ すべてで $\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x)$ 。

概収束と平均2乗収束はそれぞれ確率収束を導き、確率収束は分布収束を導く。逆向きは一般に成り立たない。ただし極限が定数 $c$ のときは、分布収束と確率収束が同値になる。分布収束は分布関数についての主張なので、 $X_n$ と $X$ が同じ確率空間上になくてもよい。

大数の法則

定理・法則

大数の弱法則

条件

$X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で $\operatorname{E}|X_1| < \infty$ 、 $\mu = \operatorname{E}[X_1]$ 。

主張

$\bar X_n = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$ は $\mu$ に確率収束する。

要点

分散 $\sigma^2$ が有限なら、 $\operatorname{Var}(\bar X_n) = \sigma^2/n$ とチェビシェフの不等式から $P(|\bar X_n - \mu| \ge \varepsilon) \le \sigma^2/(n\varepsilon^2) \to 0$ で示せる。分散が無限でも平均が有限なら成り立つ（ヒンチンの定理）。

定理・法則

大数の強法則

条件

$X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で $\operatorname{E}|X_1| < \infty$ （コルモゴロフの強法則）。

主張

$\bar X_n$ は $\mu$ に概収束する。

要点

独立同分布の場合、 $\bar X_n$ がある有限の定数に概収束することと $\operatorname{E}|X_1| < \infty$ は同値である。

平均が存在しないと大数の法則は成り立たない。標準コーシー分布に従う独立な $X_i$ では、特性関数 $e^{-|t|}$ から $\varphi_{\bar X_n}(t) = \bigl(e^{-|t|/n}\bigr)^n = e^{-|t|}$ となり、 $\bar X_n$ は $n$ によらず標準コーシー分布に従う。

中心極限定理

定理・法則

中心極限定理（リンデベルグ・レヴィ）

条件

$X_1, X_2, \dots$ は独立同分布で、 $\operatorname{E}[X_1] = \mu$ 、 $0 < \sigma^2 = \operatorname{Var}(X_1) < \infty$ 。 $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ 。

主張

Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar X_n - \mu)}{\sigma}

は $N(0,1)$ に分布収束する。すなわち任意の $z$ で $\lim_{n\to\infty} P(Z_n \le z) = \Phi(z)$ 。

要点

$Y_i = (X_i - \mu)/\sigma$ の特性関数は $\varphi(u) = 1 - u^2/2 + o(u^2)$ なので、 $\varphi_{Z_n}(t) = \varphi(t/\sqrt{n})^n = \bigl(1 - t^2/(2n) + o(1/n)\bigr)^n \to e^{-t^2/2}$ 。レヴィの連続性定理から結論が出る。分散が無限（コーシー分布など）では成り立たない。

個数 n2

Z = (U₁ + … + Uₙ − n/2)/√(n/12) の密度（緑）と標準正規分布の密度（灰）。差の最大値 0.031

区間 $[0,1]$ の一様分布に従う独立な $n$ 個の和 $S_n$ を標準化した $(S_n - n/2)/\sqrt{n/12}$ の密度（アーウィン・ホール分布を平行移動・拡大したもの）を、標準正規分布の密度と重ねて描く。 $n$ を $1$ から増やすと、長方形から三角形、釣鐘形へと形が変わり、正規分布の密度に近づいていく。

ド・モアブル・ラプラスの定理: $X \sim \mathrm{Bin}(n,p) \Rightarrow \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)$
$0<p<1$ を固定して $n\to\infty$ 。ベルヌーイ分布に中心極限定理を使ったもの。
連続修正: $P(X \le k) \approx \Phi\left(\frac{k + 0.5 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$
整数値の分布を連続分布で近似するとき、区間の端を $0.5$ ずらす。
標本平均の近似分布: $\bar X_n \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

正規近似の計算例

計算例

硬貨100回で表が55回以下の確率

公平な硬貨を100回投げて表が出る回数を $X$ とする。 $P(X \le 55)$ を正規近似で求めよ。

解答

$X \sim \mathrm{Bin}(100, 0.5)$ で平均 $50$ 、標準偏差 $\sqrt{25} = 5$ 。連続修正をして

P(X \le 55) \approx \Phi\left(\frac{55.5 - 50}{5}\right) = \Phi(1.1) \approx 0.8643

検算

二項分布の正確な値は $0.8644$ （数値計算）で、近似の誤差は $10^{-4}$ 程度である。連続修正をしないと $\Phi(1.0) \approx 0.8413$ で、誤差が約 $0.023$ に増える。

計算例

支持率の推定に必要な標本数

支持率 $p$ を、標本の割合 $\bar X_n$ との差が $0.05$ 以上になる確率が $5\%$ 以下になるように推定したい。チェビシェフの不等式と中心極限定理のそれぞれで、必要な $n$ を求めよ。

解答

$\operatorname{Var}(\bar X_n) = p(1-p)/n \le 1/(4n)$ （ $p = 1/2$ で最大）。

チェビシェフの不等式では $P(|\bar X_n - p| \ge 0.05) \le \dfrac{1}{4n \cdot 0.05^2} = \dfrac{100}{n}$ 。これを $0.05$ 以下にするには $n \ge 2000$ 。

中心極限定理では $1.96 \times \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \le 0.05$ から $n \ge (1.96/0.1)^2 = 384.16$ で、 $n \ge 385$ 。

検算

$1.96$ は $\Phi(1.96) \approx 0.975$ を満たす値（ $z_{0.025}$ ）。チェビシェフの不等式はどの分布でも成り立つ分だけ評価が粗く、必要な $n$ が約5倍になる。

計算例

一様乱数12個の和

$U_1, \dots, U_{12}$ を独立な $U(0,1)$ とする。 $Y = U_1 + \cdots + U_{12} - 6$ の平均と分散を求め、 $Y$ がほぼ $N(0,1)$ に従う理由を述べよ。

解答

$\operatorname{E}[U_i] = 1/2$ 、 $\operatorname{Var}(U_i) = 1/12$ なので、 $\operatorname{E}[Y] = 12 \cdot 1/2 - 6 = 0$ 、 $\operatorname{Var}(Y) = 12 \cdot 1/12 = 1$ 。 $Y$ は $(S_{12} - 12\mu)/(\sigma\sqrt{12})$ そのもので、中心極限定理により分布が $N(0,1)$ に近い。

検算

$n = 2$ の和の密度は $0 \le x \le 1$ で $x$ 、 $1 \le x \le 2$ で $2 - x$ の三角形で、積分すると $1$ 、平均 $1$ になる。 $n = 3$ では区分的2次式になり、中央 $x = 1.5$ で $0.75$ をとる。 $Y$ の値は $[-6, 6]$ に限られるので、裾の確率の近似には向かない。

答案でよくある誤り

1
中心極限定理を「 $X_i$ 自体が正規分布に近づく」と読む。近づくのは標準化した和 $Z_n$ の分布で、各 $X_i$ の分布は変わらない。
2
標準化で $\sigma/\sqrt{n}$ でなく $\sigma$ や $\sigma/n$ で割る。 $\bar X_n$ の標準偏差は $\sigma/\sqrt{n}$ 、和 $S_n$ の標準偏差は $\sigma\sqrt{n}$ である。
3
分散の存在を確かめずに中心極限定理を使う。分散が無限の分布では成り立たない。平均が存在しないコーシー分布では大数の法則も成り立たない。
4
二項分布の正規近似で連続修正を忘れる、または向きを誤る。 $P(X \le k)$ は $k + 0.5$ 、 $P(X \ge k)$ は $k - 0.5$ で近似する。
5
チェビシェフの不等式の上界を確率の近似値として答える。上界は $P$ 以上の値で、実際の確率はずっと小さいことが多い。

大数の法則と中心極限定理が出た院試の過去問

院試hubが年度別解説の大問を分類した集計から、この単元の内容を扱う出題を挙げる。問題文は各大学の公式過去問で確かめ、解き方は各年度の解説ページで読める。

中心極限定理

6大学・17問（2007〜2025年度）

新しい年度の出題

九州大学大学院物理学 2025年度第4問物理学IV：熱力学関数・表面吸着の大分配関数と高分子のエントロピー弾性
北海道大学大学院情報科学専攻情報理工学コース専門科目 2025年度第3問確率・統計
東京大学専門科目B 2025年度第14問逆ガンマ型分布の最尤推定
東京大学都市工学専門科目 2025年度第2問B-8--B-15 都市計画系選択問題別解答例（2025）
東京大学専門基礎科目（複雑理工学） 2025年度第3問確率・統計
千葉大学大学院専門科目（A0・A問題・B問題） 2024年度第14問B8 中心極限定理と特性関数

解答まで無料で読める演習問題

東京大学都市工学専門科目 2025年度第2問B-8--B-15 都市計画系選択問題別解答例（2025）
東京大学専門科目B 2015年度第14問一様乱数の積和と極限定理
東京大学専門科目（物理学） 2015年度第2問統計力学：高分子鎖の配位数と揺らぎ応答
東京大学専門科目B 2014年度第14問指数分布の比と極限定理

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