母関数と特性関数確率母関数・積率母関数・特性関数とモーメント

$M(t) = \sum_k e^{tk}e^{-\lambda}\lambda^k/k! = e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} = \exp(\lambda(e^t-1))$。キュムラント母関数は $K(t) = \lambda(e^t - 1)$ で、$K'(0) = \lambda$、$K''(0) = \lambda$。よって平均も分散も $\lambda$。

独立なので $M_{X+Y}(t) = \exp(\lambda(e^t-1))\exp(\mu(e^t-1)) = \exp((\lambda+\mu)(e^t-1))$。これは $\mathrm{Po}(\lambda+\mu)$ の積率母関数なので、一意性から $X + Y \sim \mathrm{Po}(\lambda+\mu)$。

$M$ を直接微分しても $M'(0) = \lambda$、$M''(0) = \lambda^2 + \lambda$ で、分散は $\lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$。確率母関数 $G(s) = e^{\lambda(s-1)}$ でも $G(0) = e^{-\lambda} = P(X=0)$、$G'(1) = \lambda$ が成り立つ。

$t < \lambda$ で $M(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{t}{\lambda}\right)^k$。$t^k$ の係数 $1/\lambda^k$ が $\operatorname{E}[X^k]/k!$ なので $\operatorname{E}[X^k] = k!/\lambda^k$。

和の積率母関数は $\left(\dfrac{\lambda}{\lambda - t}\right)^n$ で、ガンマ分布 $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ の積率母関数と一致する。よって和は $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ に従う。

$k = 1, 2$ で $\operatorname{E}[X] = 1/\lambda$、$\operatorname{E}[X^2] = 2/\lambda^2$、分散 $1/\lambda^2$ で表の値に一致する。$\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ の平均 $n/\lambda$ も、$n$ 個の平均 $1/\lambda$ の和と合う。

$Z \sim N(0,1)$ について $\varphi_Z(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{itz - z^2/2}\,dz = e^{-t^2/2}$（指数を $-(z - it)^2/2 - t^2/2$ と平方完成する）。$X = \mu + \sigma Z$ なので $\varphi_X(t) = e^{i\mu t}\varphi_Z(\sigma t) = \exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)$。

$\varphi_{aX_1+bX_2}(t) = \varphi_{X_1}(at)\varphi_{X_2}(bt) = \exp\bigl(i(a\mu_1 + b\mu_2)t - (a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)t^2/2\bigr)$。よって $aX_1 + bX_2 \sim N(a\mu_1 + b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$。

$\varphi_X'(0) = i\mu$ から $\operatorname{E}[X] = \mu$、$\varphi_X''(0) = -(\mu^2 + \sigma^2)$ から $\operatorname{E}[X^2] = \mu^2 + \sigma^2$ で、分散 $\sigma^2$ に一致する。