# 母関数と特性関数｜確率母関数・積率母関数・特性関数とモーメント

> 確率母関数・積率母関数・特性関数の定義と存在条件、微分によるモーメントの求め方、分布の一意性と独立な和の分布、主な分布の母関数の一覧を数式で解説。ポアソン分布や指数分布の計算例も載せています。

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- 科目: [確率・統計](https://inshihub.com/basics/probability-statistics)（大学基礎課程の数学・物理・化学・生物・情報）
- 最終更新: 2026-11-16
- 先に読む単元: [確率分布と期待値・分散](https://inshihub.com/basics/probability-statistics/distributions-expectation-variance)

積率母関数は $M_X(t) = \operatorname{E}[e^{tX}]$、特性関数は $\varphi_X(t) = \operatorname{E}[e^{itX}]$、非負整数値の確率変数の確率母関数は $G_X(s) = \operatorname{E}[s^X]$ で定める。$t = 0$（$G$ は $s = 1$）で微分するとモーメントが出て、たとえば $M_X^{(k)}(0) = \operatorname{E}[X^k]$ である。独立な確率変数の和の母関数は各母関数の積になり、母関数から分布が一意に決まるので、和の分布を求めるときに使う。特性関数はどの分布にも存在するが、積率母関数は $0$ の近くで有限とは限らない。

## 確率母関数・積率母関数・特性関数の定義

### 定義：確率母関数

$X$ が非負整数値をとるとき、$G_X(s) = \operatorname{E}[s^X] = \sum_{k=0}^{\infty} P(X=k)\,s^k$ を確率母関数という。$|s| \le 1$ で収束する。

### 定義：積率母関数

$M_X(t) = \operatorname{E}[e^{tX}]$ を積率母関数（モーメント母関数）という。$t = 0$ では必ず $1$ だが、$0$ を含む開区間で有限とは限らない。$0$ の近傍で有限なときに限り、モーメントの計算と分布の決定に使える。

### 定義：特性関数

$\varphi_X(t) = \operatorname{E}[e^{itX}] = \operatorname{E}[\cos tX] + i\operatorname{E}[\sin tX]$（$t \in \mathbb{R}$）を特性関数という。$|e^{itX}| = 1$ なので、どの分布でも存在し、$|\varphi_X(t)| \le 1$、$\varphi_X(0) = 1$ で、$t$ について一様連続である。

密度 $f$ をもつなら $\varphi_X(t) = \int e^{itx} f(x)\,dx$ で、$f$ の[フーリエ変換](https://inshihub.com/exam-themes/fourier-transform)（指数の符号を $+$ にとる流儀）にあたる。

## 母関数からモーメントを求める

- 確率母関数

  $$G_X'(1) = \operatorname{E}[X], \quad G_X''(1) = \operatorname{E}[X(X-1)], \quad P(X=k) = \frac{G_X^{(k)}(0)}{k!}$$

  $s = 1$ での微分は左側微分係数。分散は $G''(1) + G'(1) - G'(1)^2$。

- 積率母関数

  $$M_X^{(k)}(0) = \operatorname{E}[X^k], \qquad M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\operatorname{E}[X^k]}{k!} t^k$$

  $M_X$ が $0$ の近傍で有限なとき。

- 特性関数

  $$\varphi_X^{(k)}(0) = i^k \operatorname{E}[X^k]$$

  $\operatorname{E}|X|^k < \infty$ のとき。

- キュムラント母関数

  $$K_X(t) = \log M_X(t), \quad K_X'(0) = \operatorname{E}[X], \quad K_X''(0) = \operatorname{Var}(X)$$

  分散を出すとき、$M''(0) - M'(0)^2$ より計算が短くなることが多い。

- 1次変換

  $$M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at), \qquad \varphi_{aX+b}(t) = e^{ibt}\varphi_X(at)$$

## 分布の一意性と独立な和

### 定理・法則：一意性定理

条件：

$X, Y$ は実数値確率変数。積率母関数で判定するときは、両方の $M$ が $(-h, h)$（$h>0$）で有限であること。

主張：

$\varphi_X = \varphi_Y$ なら $X$ と $Y$ は同じ分布に従う。積率母関数が $0$ を含む開区間で有限かつ一致するときも同じ分布に従う。

要点：

特性関数が絶対可積分なら、反転公式 $f(x) = \dfrac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\varphi_X(t)\,dt$ で密度が戻る。モーメントの列 $\operatorname{E}[X^k]$ がすべて一致するだけでは、同じ分布とは限らない（対数正規分布に反例がある）。

### 定理・法則：独立な和の母関数

条件：

$X, Y$ は独立。積率母関数ではその $t$ で両方が有限、確率母関数では非負整数値であること。

主張：

$$\varphi_{X+Y}(t) = \varphi_X(t)\varphi_Y(t), \qquad M_{X+Y}(t) = M_X(t)M_Y(t), \qquad G_{X+Y}(s) = G_X(s)G_Y(s)$$

要点：

$e^{it(X+Y)} = e^{itX}e^{itY}$ と、独立な確率変数の関数の積の期待値が期待値の積になることから出る。積が成り立っても独立とは限らない。

### 定理・法則：レヴィの連続性定理

条件：

特性関数 $\varphi_{X_n}(t)$ が各 $t$ で $\varphi_X(t)$ に収束する（$\varphi_X$ はある確率変数 $X$ の特性関数）。より一般に、極限関数が $t = 0$ で連続なら、それはある分布の特性関数になる。

主張：

$X_n$ は $X$ に分布収束する。

要点：

[中心極限定理](https://inshihub.com/basics/probability-statistics/limit-theorems)の証明はこの定理による。

## 主な分布の母関数

- 二項分布 $\mathrm{Bin}(n,p)$

  $$G(s) = (1 - p + ps)^n, \quad M(t) = (1 - p + pe^t)^n$$

- ポアソン分布 $\mathrm{Po}(\lambda)$

  $$G(s) = e^{\lambda(s-1)}, \quad M(t) = \exp\bigl(\lambda(e^t - 1)\bigr)$$

- 幾何分布 $\mathrm{Geo}(p)$（試行回数）

  $$G(s) = \frac{ps}{1 - (1-p)s} \quad \left(|s| < \frac{1}{1-p}\right)$$

- 一様分布 $U(0,1)$

  $$M(t) = \frac{e^t - 1}{t} \ (t \ne 0), \quad M(0) = 1$$

- 指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$

  $$M(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t} \quad (t < \lambda)$$

- ガンマ分布 $\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$

  $$M(t) = \left(\frac{\beta}{\beta - t}\right)^{\alpha} \quad (t < \beta)$$

- 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$

  $$M(t) = \exp\left(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right), \quad \varphi(t) = \exp\left(i\mu t - \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)$$

- コーシー分布

  $$f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}, \quad \varphi(t) = e^{-|t|}$$

  $t \ne 0$ で $\operatorname{E}[e^{tX}] = \infty$ なので積率母関数は使えない。$\varphi$ は $t = 0$ で微分できず、平均が存在しないことと対応する。

## 母関数を使った計算例

### 計算例：ポアソン分布の平均・分散と再生性

$X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ の積率母関数から平均と分散を求めよ。また $X \sim \mathrm{Po}(\lambda),\ Y \sim \mathrm{Po}(\mu)$ が独立なとき $X + Y$ の分布を求めよ。

解答：

$M(t) = \sum_k e^{tk}e^{-\lambda}\lambda^k/k! = e^{-\lambda}e^{\lambda e^t} = \exp(\lambda(e^t-1))$。キュムラント母関数は $K(t) = \lambda(e^t - 1)$ で、$K'(0) = \lambda$、$K''(0) = \lambda$。よって平均も分散も $\lambda$。

独立なので $M_{X+Y}(t) = \exp(\lambda(e^t-1))\exp(\mu(e^t-1)) = \exp((\lambda+\mu)(e^t-1))$。これは $\mathrm{Po}(\lambda+\mu)$ の積率母関数なので、一意性から $X + Y \sim \mathrm{Po}(\lambda+\mu)$。

検算：

$M$ を直接微分しても $M'(0) = \lambda$、$M''(0) = \lambda^2 + \lambda$ で、分散は $\lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda$。確率母関数 $G(s) = e^{\lambda(s-1)}$ でも $G(0) = e^{-\lambda} = P(X=0)$、$G'(1) = \lambda$ が成り立つ。

### 計算例：指数分布のモーメントと和の分布

$X \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ の $\operatorname{E}[X^k]$ を求めよ。また独立な $X_1, \dots, X_n \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$ の和の分布を求めよ。

解答：

$t < \lambda$ で $M(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t} = \sum_{k=0}^{\infty} \left(\dfrac{t}{\lambda}\right)^k$。$t^k$ の係数 $1/\lambda^k$ が $\operatorname{E}[X^k]/k!$ なので $\operatorname{E}[X^k] = k!/\lambda^k$。

和の積率母関数は $\left(\dfrac{\lambda}{\lambda - t}\right)^n$ で、ガンマ分布 $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ の積率母関数と一致する。よって和は $\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ に従う。

検算：

$k = 1, 2$ で $\operatorname{E}[X] = 1/\lambda$、$\operatorname{E}[X^2] = 2/\lambda^2$、分散 $1/\lambda^2$ で表の値に一致する。$\mathrm{Ga}(n,\lambda)$ の平均 $n/\lambda$ も、$n$ 個の平均 $1/\lambda$ の和と合う。

### 計算例：正規分布の特性関数と1次結合

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$ の特性関数を求め、独立な $X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$（$i = 1, 2$）について $aX_1 + bX_2$ の分布を求めよ。

解答：

$Z \sim N(0,1)$ について $\varphi_Z(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\int e^{itz - z^2/2}\,dz = e^{-t^2/2}$（指数を $-(z - it)^2/2 - t^2/2$ と平方完成する）。$X = \mu + \sigma Z$ なので $\varphi_X(t) = e^{i\mu t}\varphi_Z(\sigma t) = \exp(i\mu t - \sigma^2 t^2/2)$。

$\varphi_{aX_1+bX_2}(t) = \varphi_{X_1}(at)\varphi_{X_2}(bt) = \exp\bigl(i(a\mu_1 + b\mu_2)t - (a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)t^2/2\bigr)$。よって $aX_1 + bX_2 \sim N(a\mu_1 + b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2 + b^2\sigma_2^2)$。

検算：

$\varphi_X'(0) = i\mu$ から $\operatorname{E}[X] = \mu$、$\varphi_X''(0) = -(\mu^2 + \sigma^2)$ から $\operatorname{E}[X^2] = \mu^2 + \sigma^2$ で、分散 $\sigma^2$ に一致する。

## 答案でよくある誤り

1. 積率母関数がどの分布にも存在すると考える。コーシー分布や対数正規分布では $0$ の近傍で有限にならない。存在しないときは特性関数を使う。
2. $\varphi_X^{(k)}(0) = \operatorname{E}[X^k]$ と書いて $i^k$ を落とす。特性関数では $\varphi'(0) = i\operatorname{E}[X]$、$\varphi''(0) = -\operatorname{E}[X^2]$ になる。
3. 確率母関数の2階微分 $G''(1)$ を $\operatorname{E}[X^2]$ とする。$G''(1) = \operatorname{E}[X(X-1)]$ なので、$\operatorname{E}[X^2] = G''(1) + G'(1)$。
4. 独立でない和に母関数の積の公式を使う。積の公式は独立性から出るので、まず独立かを確かめる。
5. 母関数の形が一致したことを示さずに分布を決める。既知の分布の母関数と同じ式であることと、積率母関数なら $0$ の近傍で有限なことを書いてから一意性定理を使う。

## 母関数と特性関数が出た院試の過去問

### [特性関数](https://inshihub.com/exam-themes/characteristic-function)（6大学・13問）

- [北海道大学大学院 情報科学専攻 情報理工学コース 専門科目 2025年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/hokkaido-university/graduate-school-of-information-science-and-technology/computer-science-and-information-technology/2025#problem-3): 確率・統計
- [東京大学 専門基礎科目（複雑理工学） 2025年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-frontier-sciences/complexity-science-and-engineering/2025#problem-3): 確率・統計
- [千葉大学大学院 専門科目（A0・A問題・B問題） 2024年度 第5問](https://inshihub.com/exam-solutions/chiba-university/graduate-school-of-science-and-engineering/mathematics-informatics-specialized-a/2024#problem-5): A4 二項分布の再生性と標本平均
- [早稲田大学大学院 数学応用数理専攻 専門科目 2024年度 第10問](https://inshihub.com/exam-solutions/waseda-university/graduate-school-of-fundamental-science-and-engineering/mathematics-and-applied-mathematics/2024#problem-10): 確率統計：条件付き特性関数
- [東京科学大学 専門科目（数理・計算科学） 2024年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/institute-of-science-tokyo/school-of-computing/mathematical-and-computing-science/2024#problem-3): 決定可能性と還元
- [広島大学大学院 数学 2023年度 第3問](https://inshihub.com/exam-solutions/hiroshima-university/graduate-school-of-advanced-science-and-engineering/mathematics/2023-b#problem-3): 第3問 (I)/(II) 選択

解答まで無料で読める演習問題:

- [東京大学 数理情報学 2023年度 第4問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/information-science/mathematical-informatics/2023#problem-4): 逆二乗正規変数と安定分布
- [東京大学 専門科目B 2011年度 第11問](https://inshihub.com/exam-solutions/tokyo-university/graduate-school-of-mathematical-sciences/specialized-subject-b/2011#problem-11): Poisson和と三角波畳み込み